Integral Trigonométrica

[klueger]

E aí galera, estou com conceitos defasados de Integrais Trigonométricas... alguem sabe?
Precisa fazer por substituição e recorrência!

1) \(\int\ x.sec^3(2x^2+1).dx\)

Abs!

[Sobolev]

\(\int x \sec^3 (2x^2+1)\,dx = \frac 14 \int (4 x \sec^2(2x^2+1))\cdot \sec (2x^2+1)\, dx=
\frac 14 \tan(2x^2+1) \sec(2x^2+1) - \frac 14 \int (\tan(2x^2+1)\cdot 4x \tan(2x^2+1) \sec(2x^2+1) \, dx =
\frac 14 \tan(2x^2+1) \sec(2x^2+1) - \int x \tan^2(2x^2+1) \sec(2x^2+1)\, dx =
\frac 14 \tan(2x^2+1) \sec(2x^2+1) - \int x (\sec^2(2x^2+1) -1 ) \sec(2x^2+1)\,dx=
\frac 14 \tan(2x^2+1) \sec(2x^2+1) - \int x \sec^3(2x^2+1)\,dx + \int x \sec(2x^2+1)\,dx\)

Como no final dos cálculos voltámos a obter a primitiva de onde partimos, podemos "resolver" em ordem a esta resultando

\(\int x \sec^3(2x^2+1)\, dx = \frac 18 \tan(2x^2+1) \sec(2x^2+1) + \frac 18 \int 4 x \sec(2x^2+1)\,dx\)

Por outro lado, sabendo que a primitiva da secante é dada por
\(\int \sec u \, du =
\log \left|\sin \left(\frac{u}{2}\right)+\cos \left(\frac{u}{2}\right)\right|- \log \left|\cos \left(\frac{u}{2}\right)-\sin \left(\frac{u}{2}\right)\right|\)

podemos concluir que

\(\int x \sec^3(2x^2+1)\, dx = \frac 18 \tan(2x^2+1) \sec(2x^2+1) + \frac 18 \log \left|\sin \left(\frac{2x^2+1}{2}\right)+\cos \left(\frac{2x^2+1}{2}\right)\right|-\frac 18 \log \left|\cos \left(\frac{2x^2+1}{2}\right)-\sin \left(\frac{2x^2+1}{2}\right)\right|+ C\)