Calculo do Rotacional de F pelo teorema de Stokes

[joneco]

fala galera queria saber como achar o rotacional de F pelo teorema de Stokes, precisaria de algo literal, ou seja formar uma nova equação geral para o rotacional .

\(\int _{C}^{}\textrm{} F.dr = \int \int _{S} rotF.ds\)

seria por somente o rot F = ao resto...

obrigado

[João P. Ferreira]

Boas

se o campo vetorial for de dimensão três, \(F:\R^3\rightarrow \R^3\)
ou seja \(F(x,y,z)=(F_x,F_y,F_z)\)

então o rotacional é um vetor de dimensão três dado por

\(rot F=\nabla \times F = \begin{bmatrix}
{\frac{\partial F_z}{\partial y}} - {\frac{\partial F_y}{\partial z}} \\ \\
{\frac{\partial F_x}{\partial z}} - {\frac{\partial F_z}{\partial x}}\\ \\
{\frac{\partial F_y}{\partial x}} - {\frac{\partial F_x}{\partial y}}
\end{bmatrix}\)

[josesousa]

Se a pergunta é só em relação ao cálculo do rotacional, o caro João respondeu. Se precisar de mais, diga!

[João P. Ferreira]

eu acho que a dúvida, e tenho-a eu também por vezes, é como aplicar o vetor \(rot F\) num integral de Volume...

[Sobolev]

O Teorema de Stokes não permite calcular o rotacional... para isso existe a fórmula explícita, mencionada pelo João Ferreira. O teorema de Stokes simplesmente estabelece a igualdade entre dois integrais: O integral de linha de um campo vectorial F no bordo de uma superfície e o integral do rotacional de F na superfície propriamente dita. A ideia é escolher o integral mais fácil de calcular em cada situação.

Relativamente ao aproveitamento do teorema de Stokes para o cálculo de integrais de volume, o processo não é directo mas através do teorema da divergência (que relaciona o integral de superfície de um campo vectorial com o integral de volume da sua divergência). Neste caso existe porém uma dificuldade adicional: a superfície que limita o volume onde se pretende calcular o integral não tem bordo, pelo que não seria viável aplicar o teorema de Stokes. A forma de contornar esta dificuldade é dividir a superfície em diversos pedaços com bordo, aplicando o Teorema de stokes a cada pedaço (tendo em atenção a orientação dos bordos).