Todas as dúvidas que tenha sobre arranjos simples, completos, combinações ou probabilidades
19 fev 2014, 22:54
Olá a todos. Esta é minha primeira postagem aqui.
Nunca fui um aluno muito bom em matemática e estou com uma dúvida em um problema de probabilidade que eu mesmo me propus. É o seguinte: falo da probabilidade de se tirar um 6 logo na primeira vez que lanço um dado. Matematicamente falando, não há diferença de probabilidade de tirar 6 se jogo só uma vez ou 10, pois em cada jogada a probabilidade será sempre 1 em 6 (deduzindo que o dado não está viciado). Sobre isso, veio-me uma dúvida: se eu jogar esse dado 10 vezes, por que a probabilidade de eu tirar o número 6 PELO MENOS uma vez é maior ??? Se minha vida dependesse de tirar um 6 jogando um dado, eu certamente preferiria ter 10 chances para fazê-lo a uma só.
Além disso, posso dizer que a grande sacada aí está em dizer "pelo menos", ou seja, é o "pelo menos uma vez" que muda tudo ? Porque se eu quisesse tirar um 6 em cada uma das 10 jogadas, não mudaria nada, correto ? A probabilidade continuaria 1 em 6 em cada jogada. Se eu digo que quero tirar um 6 em pelo menos um dos 10 arremessos, então eu tenho a vantagem de poder errar 9 vezes; se eu acertar uma que seja, já posso dizer que atingi meu objetivo. Estou certo em dizer isso ?
Agradeço desde já !
20 fev 2014, 10:40
Antes de mais, seja benvindo ao forum...
Relativamente à sua questão, apenas tem que distinguir a probabilidade de um lançamento isolado (que é 1/6 como refere) da probabilidade de uma sequência de acontecimentos. Como os acontecimentos são independentes as probabilidades devem ser multiplicadas.
Por exemplo, a probabilidade de obter 6 em todos os 10 lançamentos seria \(\frac 16 \times \frac 16 \cdots \times \frac 16 = (1/6)^{10} = 1/60466176\). É por isso muitíssimo mais difícil obter 6 em dez lançamentos seguidos, o que é perfeitamente compreensível.
Em relação à probabilidade de obter pelo menos um 6, veja que é a probabilidade de obter exactamente um 6, somada com a probabilidade de obter dois 6's, somada coma probabilidade de obter 3, etc. A probabilidade de obter exactamente um 6 em dez lançamentos é dada por
\(10 \times \frac 16 \times (\frac 56)^9 = 9765625/30233088 \approx 0.323011\)
O primeiro factor (10) aparece porque o 6 pode sair em qualquer um dos dez lançamentos, o factor 1/6 é a probabilidade de sair 6 num lançamento e (5/6)^9 a probabilidade de não sair 6 nos restantes 9.
Se quisermos calcular a probabilidade de obter 6 em exactamente dois lançamentos teremos
\(~^{10} C_2 \times (1/6)^{2} \times (5/6)^8=1953125/6718464 \approx 0.29071\)
Em que \(~^{10} C_2 = 45\) é o número de maneiras de escolher os dois lançamentos em que obtemos 6.
Realizando todas estas somas, a probabilidade que pretendemos será
\(\sum_{i=1}^{10} ~^{10}C_i \times (1/6)^i \times (5/6)^{10-i}=50700551/60466176 \approx 0.838494\)
20 fev 2014, 18:49
Isso significa que posso dizer que a probabilidade de eu tirar um 6 em apenas uma jogada é de aprox. 16%, enquanto de tirar pelo menos um 6 em 10 jogadas é de aproximadamente 84% ?
20 fev 2014, 22:41
Sim, é exactamente isso.
21 fev 2014, 18:53
Obrigado, Sobolev. Fiz essa questão porque preciso da resolução matemática para incluir num livro. Posso colocar uma nota de agradecimento com seu nome ? Se sim, precisaria de seu nome real. Se preferir Sobolev, tudo bem, eu coloco assim. Fico no aguardo de sua resposta.
03 mar 2014, 03:16
Olá, Sobolev, ainda aguardo uma resposta. Obrigado.
20 fev 2018, 04:55
Sobolev Escreveu:Em relação à probabilidade de obter pelo menos um 6, veja que é a probabilidade de obter exactamente um 6, somada com a probabilidade de obter dois 6's, somada coma probabilidade de obter 3, etc. A probabilidade de obter exactamente um 6 em dez lançamentos é dada por
\(10 \times \frac 16 \times (\frac 56)^9 = 9765625/30233088 \approx 0.323011\)
O primeiro factor (10) aparece porque o 6 pode sair em qualquer um dos dez lançamentos, o factor 1/6 é a probabilidade de sair 6 num lançamento e (5/6)^9 a probabilidade de não sair 6 nos restantes 9.
Se quisermos calcular a probabilidade de obter 6 em exactamente dois lançamentos teremos
\(~^{10} C_2 \times (1/6)^{2} \times (5/6)^8=1953125/6718464 \approx 0.29071\)
Em que \(~^{10} C_2 = 45\) é o número de maneiras de escolher os dois lançamentos em que obtemos 6.
Amigos,
Não entendi o 1o termo no segundo exemplo. Não me senti familiarizado com a notação utilizada e também se não entendi a frase "número de maneiras de escolher os lançamentos". Eu entendi que seriam esperados dois lançamentos em que o número seis sairia, mas de que forma aquela notação levaria ao valor 45?
Desculpe minha ignorância.
Grato pela atenção.
20 fev 2018, 10:50
\(~^{10} C_2\) significa combinações de 10 objetos 2 a 2, é normalmente denotado por \(\binom{10}{2}\) e calcula-se como
\(\binom{10}{2} = \dfrac{10!}{2! (10-2)!}\)
Quando obtemos 2 "6" em dez lançamentos, estes podem sair no 1º e 2º lançamento, ou no 3º e 9º, etc... Por isso temos que contar com todas as configurações em que saem 2 "6", que ó tal número \(\binom{10}{2} = 45\)
20 fev 2018, 14:48
Desculpe... Não tinha entendido que era uma combinação. Agora entendi.
Obrigado!
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