Solução de equação fracionária algébrica

[petras]

A equação abaixo possui solução única para x igual a: (Sem gabarito)
\(\frac{x-ab}{a+b}+\frac{x-ac}{a+c}+\frac{x-bc}{b+c}=a+b+c\)

A)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
B) abc
C) a+b+c
D) ab+ac+bc
E) \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{bc}{b+c}\)

[pedrodaniel10]

A forma mais fácil é dar valores a,b e c e verificar respostas.
Seja \(a=1,b=2,c=3\)

\(\frac{x-2}{3}+\frac{x-3}{4}+\frac{x-6}{5}=1+2+3\Rightarrow 20x-40+15x-45+12x-72=360\Rightarrow 47x=517\Rightarrow x=11\)

A)
\(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\neq 11\)
B)
\(1\times 2\times 3=6\neq 11\)
C)
\(1+2+3=6\neq 11\)
D)
\(1\times 2+1\times 3+2\times 3\)\(=2+3+6=11\)
E)
\(\frac{1\times 2}{1+2}+\frac{1\times 3}{1+2}+\frac{2\times 3}{2+3}=\frac{43}{15}\neq 11\)

Logo D) é a resposta.

[petras]

Grato Pedro mas existiria uma solução algébrica ou seria muito complexa?

[petras]

Segue resolução do colega gabrieldpb:

Fazendo x = y+ab+bc+ac:


\(\frac{(y+ab+bc+ac-ab)}{a+b}+\frac{(y+ab+bc+ac-ac)}{a+c}+\frac{(y+ab+bc+ac-bc)}{b+c}=a+b+c\rightarrow\frac{(y+bc+ac)}{a+b}+\frac{(y+ab+bc)}{a+c}+\frac{(y+ab+ac)}{b+c}=a+b+c \\\\\ \frac{y+c(a+b)}{a+b}+\frac{y+b(a+c)}{a+c}+\frac{y+a(b+c)}{b+c}=a+b+c\rightarrow\frac{y}{a+b}+c+\frac{y}{a+c}+b+\frac{y}{b+c}+a=a+b+c\rightarrow \\\\\ \frac{y}{a+b}+\frac{y}{a+c}+\frac{y}{b+c}=0\rightarrow y \cdot \left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right )=0\)

Como x tem solução única, y também haverá solução única. Então, se y pode ser 0, logo y só pode ter solução:

\(y = 0 \rightarrow x = 0+ ab+bc+ac \rightarrow x = ab+bc+ac\)

LETRA D