Divisibilidade + Algoritmo da divisão: mostre que um inteiro... pode ser escrito na forma 7k ou 7k + 1

[danjr5]

Mostre que, se um inteiro é um quadrado e também é um cubo (64 = 8² = 4³), então é da forma \(7k\) ou \(7k + 1\).

Gostaria de uma ajuda na questão acima. Não tenho ideia de como resolvê-la, pensei apenas que tais números são obtidos calculando a sexta potência dos inteiros (1^6, 2^6, 3^6, 4^6,...), mas talvez seja irrelevante!

Qualquer ajuda será bem-vinda.

Desde já agradeço!!

[Estanislau]

Essa observação acerca da sexta potência é na realidade muito boa. O resto depende do que o danjr5 sabe. Por exemplo, isso segue imediatamente do pequeno teorema de Fermat. Se não sabe nada, pode levar 7q+r à sexta potência, onde r = 0, 1, ..., 6 e verificar que o resultado tem a forma 7k ou 7k+1 para cada r.

[danjr5]

Essa observação acerca da sexta potência é na realidade muito boa. O resto depende do que o danjr5 sabe. Por exemplo, isso segue imediatamente do pequeno teorema de Fermat. Se não sabe nada, pode levar 7q+r à sexta potência, onde r = 0, 1, ..., 6 e verificar que o resultado tem a forma 7k ou 7k+1 para cada r.

De acordo com o algoritmo da divisão, temos que: \(n = 7q\) ou \(n = 7q + 1\) ou \(n = 7q + 2\) ou \(n = 7q + 3\) ou \(n = 7q + 4\) ou \(n = 7q + 5\) ou \(n = 7q + 6\).

- Se \(n = 7q\), então \(n\) é da forma \(7k\);

- Se \(n = 7q + 1\), então:

\(\\ n^6 = (7q + 1)^6 \\ n^6 = (7q)^6 + 6 \cdot (7q)^5 + 15 \cdot (7q)^4 + 20 \cdot (7q)^3 + 15 \cdot (7q)^2 + 6 \cdot (7q)^1 + 1 \\ n^6 = 7 \cdot (k) + 1\)

- Se \(n = 7q + 2\), então:

\(\\ n^6 = (7q + 2)^6 \\ n^6 = (7q)^6 \cdot 1 + 6 \cdot (7q)^5 \cdot 2 + 15 \cdot (7q)^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot (7q)^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot (7q)^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot (7q)^1 \cdot 2^5 + 2^6 \\ n^6 = 7 \cdot (k') + 63 + 1 \\ n^6 = 7k + 1\)

- (...)

Stanislau, tua ajuda fora de imensa valia.

MUITO obrigado!!

[Estanislau]

De nada. Para escrever um pouco menor, pode reparar no que
\((7q + r)^6 = 7Q + r^6\)
já que cada termo exceto r^6 tem o fator 7Q. Assim, basta considerar r^6. Na realidade, é assim que funciona a aritmética dos resíduos.