Resolução de Inequação Exponencial por meio algébrico

[petras]

Alguém poderia comentar. No intervalo [-1, 8], o número de soluções inteiras da inequação 2x - 7 > 23-x é: (Resposta: 5)
Por substituição os valores seriam de 4 a 8, portanto 5 soluções inteiras. Gostaria de saber a resolução algébrica.

Eu cheguei a o seguinte: 2^x - 7 > (2³ / 2^x) -> 2^x² - 7.2^x - 8 > 0 Fazendo 2^x= y -> y² – 7y – 8 > 0
Raízes x = 8 e x = -1 (não atende) 2x = 8 -> 2x = 23 -> x = 3 ???

[Sobolev]

Por favor reveja o post e assinale o que é efectivamente uma exponencial... 23 e \(2^3\) não é bem a mesma coisa e só conseguimos adivinhar o que quer escrever até certo ponto

[petras]

Por favor reveja o post e assinale o que é efectivamente uma exponencial... 23 e \(2^3\) não é bem a mesma coisa e só conseguimos adivinhar o que quer escrever até certo ponto

Sinto pelo erro na digitação. Segue a expressão correta

2^x - 7 > 2^3-x

[Estanislau]

Está tudo correto. A inequação \(y^2 - 7y - 8\) equivale a y < -1 ou y > 8. Como só estamos interessados em y > 0, fica y > 8, isso é, \(2^x > 8 \Leftrightarrow x > 3\).

Também se pode usar o truque seginte. Temos a inequação
\(2^x - 7 > 2^{3-x}\)
Seja \(f(x) = 2^x - 7\) o lado esquerdo e \(g(x) = 2^{3-x}\) o lado direito. A função f é crescente em R e a função g é decrescente em R. Além disso, é bastante fácil reparar no que f(3) = g(3). Então é óbvio que a inequação equivale a x > 3. Sem calcular nada! Rigorosamente, por monotonicidade: se x < 3, temos f(x) < f(3) = g(3) < g(x); se x > 3, temos f(x) > f(3) = g(3) > g(x).

Truques de monotonocidade muitas vezes também permitem provar que a solução de uma equação é única, e se conseguir adivinhar a solução, não tem de fazer nada mais. Por exemplo:
\(\sqrt{x} + \sqrt{x+3} + \sqrt{x+8} = 6\)
Obviamente, x = 1 é uma solução, e como o lado esquerdo é monótono, não há outras. O raciocínio é absolutamente rigoroso.

Claro que no caso de inequações é preciso tomar conta dos domínios.

[petras]

Está tudo correto. A inequação \(y^2 - 7y - 8\) equivale a y < -1 ou y > 8. Como só estamos interessados em y > 0, fica y > 8, isso é, \(2^x > 8 \Leftrightarrow x > 3\).

Também se pode usar o truque seginte. Temos a inequação
\(2^x - 7 > 2^{3-x}\)
Seja \(f(x) = 2^x - 7\) o lado esquerdo e \(g(x) = 2^{3-x}\) o lado direito. A função f é crescente em R e a função g é decrescente em R. Além disso, é bastante fácil reparar no que f(3) = g(3). Então é óbvio que a inequação equivale a x > 3. Sem calcular nada! Rigorosamente, por monotonicidade: se x < 3, temos f(x) < f(3) = g(3) < g(x); se x > 3, temos f(x) > f(3) = g(3) > g(x).

Truques de monotonocidade muitas vezes também permitem provar que a solução de uma equação é única, e se conseguir adivinhar a solução, não tem de fazer nada mais. Por exemplo:
\(\sqrt{x} + \sqrt{x+3} + \sqrt{x+8} = 6\)
Obviamente, x = 1 é uma solução, e como o lado esquerdo é monótono, não há outras. O raciocínio é absolutamente rigoroso.


Claro que no caso de inequações é preciso tomar conta dos domínios.

Grato Estanislau pelos esclarecimentos!!!