Calcular lim(x-senx)/x^2, com x tendendo a zero.....

[iclilima]

\(\lim_{x-0}\frac{x-senx}{x^2}\)

[josesousa]

Aplicando a regra de Cauchy, já que existe a indeterminação 0/0, podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite. Mais uma vez dará uma indeterminação 0/0 (x-cos(x)) e 2x no denominador. APlicando a regra de Cauchy uma vez mais, l limite será 1/2.

[jrodrigues]

\(\lim_{x\to 0}\frac{x-senx}{x^2}\)

\(=\lim_{x\to 0}\) \(\frac{1}{x}-\frac{senx}{x^2}\)

Multiplicando por \(x\)

\(=\lim_{x\to 0}\) \({1}-\frac{senx}{x}\)

E agora aplicando o caso notável \(\lim_{x\to 0}\) \(\frac{senx}{x}=1\)

conclui-se que

\(\lim_{x\to 0}\) \({1}-\frac{senx}{x}\) \(=1-1=0\)

[João P. Ferreira]

Está tudo ensonado???

Caro José Sousa, a derivada de x é 1. Um simples lapso de mestre

Caro jrodrigues, explique-nos melhor essa multiplicação por \(x\)

Parece-me que:

\(\lim_{x\to 0}\frac{x-sen(x)}{x^2}=\frac{0}{0}=Ind\)

Pela regra de Cauchy, deriva-se em cima e em baixo

\(\lim_{x\to 0}\frac{x-sen(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{(x-sen(x))'}{(x^2)'}=\lim_{x\to 0}\frac{1-cos(x)}{2x}=\frac{0}{0}=Ind\)

Aplicando novamente

\(\lim_{x\to 0}\frac{(1-cos(x))'}{(2x)'}=\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{2}=0\)

Saudações

[josesousa]

Tem toda a razão, João Pimentel. Lapso meu!

[jrodrigues]

Está tudo ensonado???

Caro José Sousa, a derivada de x é 1. Um simples lapso de mestre

Caro jrodrigues, explique-nos melhor essa multiplicação por \(x\)

Parece-me que:

\(\lim_{x\to 0}\frac{x-sen(x)}{x^2}=\frac{0}{0}=Ind\)

Pela regra de Cauchy, deriva-se em cima e em baixo

\(\lim_{x\to 0}\frac{x-sen(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{(x-sen(x))'}{(x^2)'}=\lim_{x\to 0}\frac{1-cos(x)}{2x}=\frac{0}{0}=Ind\)

Aplicando novamente

\(\lim_{x\to 0}\frac{(1-cos(x))'}{(2x)'}=\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{2}=0\)

Saudações

Multiplicou-se tudo por \(x\) apenas para se aplicar um dos casos dados sobre limites, ensinados no secundário.

[João P. Ferreira]

Sim, meu caro, mas o \(x\) não podia ter desaparecido no passo seguinte

Saudações

[jrodrigues]

Exato, forçei de modo a usar o caso notável e nem reparei que só multiplicar estaria a alterar a expressão.

Só pela regra de Cauchy então..