Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
24 abr 2015, 15:23
Olá a todos!
Suponha que z = f(x,y) onde x = g(s,t) e y = h(s,t). Admitindo derivadas mistas de segunda ordem contínuas, calcule \(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 }\).
Estou travando feio numa parte da resolução e gostaria de ajuda para prosseguir
\(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\)
\(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 } = \frac{\partial}{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial y}{\partial t}\right )+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial y}{\partial t} \right )\)
Obrigado a quem puder ajudar.
Suponha que z = f(x,y) onde x = g(s,t) e y = h(s,t). Admitindo derivadas mistas de segunda ordem contínuas, calcule \(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 }\).
Estou travando feio numa parte da resolução e gostaria de ajuda para prosseguir
\(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\)
\(\frac{\partial ^{2}z}{\partial\,t^2 } = \frac{\partial}{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial x}{\partial t} \right )+\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )\left ( \frac{\partial y}{\partial t}\right )+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial y}{\partial t} \right )\)
Obrigado a quem puder ajudar.
Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
24 abr 2015, 18:04
Repare que por exemplo \(\frac{\partial z}{\partial x}\) é uma função à qual pode ser aplicada a regra da cadeira. Então,
\(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\)
do mesmo modo,
\(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\)
\(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\)
do mesmo modo,
\(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}\)
Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
24 abr 2015, 23:01
Ainda está muito obscuro Sobolev
Concordo que em \(\frac{\partial z}{\partial x}\) pode ser aplicada a Regra da Cadeia, mas não entendi o que você fez.
Se eu conseguir entender o que foi feito nessa parte\(\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\), em relação à y vai ser tranquilo pois é de maneira análoga.
Desculpe o incômodo meu amigo.
Obrigado
Concordo que em \(\frac{\partial z}{\partial x}\) pode ser aplicada a Regra da Cadeia, mas não entendi o que você fez.
Se eu conseguir entender o que foi feito nessa parte\(\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )\), em relação à y vai ser tranquilo pois é de maneira análoga.
Desculpe o incômodo meu amigo.
Obrigado
Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
26 abr 2015, 18:07
Estou com uns 08 exercícios de meu livro sem resolver por não estar entendendo essas derivadas de segunda ordem
Me dá uma clareada por favor
Obrigado
Me dá uma clareada por favor
Obrigado
Re: Derivadas Mistas - Como prosseguir com a resolução?
27 abr 2015, 08:40
Talvez o mais fácil seja pensar que \(\frac{\partial z}{\partial x} = G\). Aplicando a regra da cadeia à função G, tem que
\(\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\).
Depois basta recordar que \(\frac{\partial z}{\partial x} = G\), pelo que
\(\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \\)
\(\frac{\partial G}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \\)
\(\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\).
Depois basta recordar que \(\frac{\partial z}{\partial x} = G\), pelo que
\(\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \\)
\(\frac{\partial G}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \\)