Cálculo de função composta com várias variávies

[F.Augusto]

Seja u = f(r,s), \(r=\frac{2y-x}{xy}\) e \(s=\frac{z-3y}{yz}\), escrever \(x^{2}.\frac{\partial u}{\partial x}+y^{2}.\frac{\partial u}{\partial y}+z^{2}.\frac{\partial u}{\partial z}\) em função das derivadas parciais de f .


Resp: \(2.\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial r}\)



Como chegar neste resultado?


Muito obrigado !

[Sobolev]

Tem que usar a regra da função composta. Concretamente,

\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial x}
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial y}
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial z}\)

Como as derivadas de \(r,s\) em ordem a \(x,y,z\) são calculáveis a partir das expressões dadas, chegará facilmente à resposta.