Cálculo de derivada com várias variáveis

[F.Augusto]

Uma função "u" é definida por \(u(x,y)=xy.ln(\frac{x+y}{xy})\). Determinar g(x,y), sabendo que \(u.g(x,y)=x^2\frac{\partial u}{\partial x}-y^2\frac{\partial u}{\partial y}\)




Resp: g(x,y)= x-y


Como chego nesta resposta?


Muito obrigado !

[Walter R]

Bom dia!
Primeiramente, note que \(\frac{\partial u}{\partial x}=y\ln\left ( \frac{x+y}{xy} \right )-\frac{y^2}{x+y}\) e que \(\frac{\partial u}{\partial y}=x\ln\left ( \frac{x+y}{xy} \right )-\frac{x^2}{x+y}\). Então, \(ug=x^2y\ln\left ( \frac{x+y}{xy} \right )-\frac{x^2y^2}{x+y}-y^2x\ln\left ( \frac{x+y}{xy} \right )+\frac{x^2y^2}{x+y}\).
\(g=\frac{x^2y\ln\left ( \frac{x+y}{xy} \right )-\frac{x^2y^2}{x+y}-y^2x\ln\left ( \frac{x+y}{xy} \right )+\frac{x^2y^2}{x+y}}{xy\ln\left ( \frac{x+y}{xy} \right )}=x-y\)