Olá, boa noite.
xafabi Escreveu:1) Encontre os pontos que pertencem ao círculo de equação x2 + y2 = 1, cuja tangente é paralela à função f(x) = x.
Esse primeiro dá para fazer observando o seguinte:
i) A equação \(x^2 + y^2 = 1\) é de um circunferência centrada em \((0,0)\) e com raio igual a \(1\).
ii) A função \(f(x) = x\) corresponde à bissetriz dos quadrantes ímpares. Então sua perpendicular é a reta \(y = -x\) que é a bissetriz dos quadrantes pares.
Mas o que é que eu faço com essas informações?
A circunferência terá duas tangentes que são paralelas à \(f(x) = x\).
Essas tangentes passam pelos pontos de intersecção da reta \(y = -x\) com a circunferência.
Pela simetria da circunferência, nesses pontos de intersecção o \(y = -x\) (obviamente). Como o raio da circunferência é 1 então você terá um triângulo retângulo de catetos \(x\) e \(y=-x\) e hipotenusa 1 e portanto \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) e \(y = - \frac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\) e \(y = \frac{\sqrt{2}}{2}\) que são os pontos pedidos.
xafabi Escreveu:2) Use derivação implícita para encontrar dy/dx
a) ysen(x) = 1 – xy
Já que é para derivar então derivemos (basicamente aplicando a regra do produto):
\(\frac{d}{dx}{(y \cdot sen(x) = 1 - x \cdot y)}\) =>
\(\frac{d}{dx}{(y \cdot sen(x)) = \frac{d}{dx}(1) - \frac{d}{dx}{(x \cdot y)}\) =>
\({ \frac{d}{dx}(y) \cdot sen(x) + y \cdot \frac{d}{dx}(sen(x)) = 0 - \frac{d}{dx}(x) \cdot y - x \cdot \frac{d}{dx}(y)\) =>
\({ \frac{d}{dx}(y) \cdot sen(x) + y \cdot (cos(x)) = - y - x \cdot \frac{d}{dx}(y)\) =>
\({ \frac{d}{dx}(y) \cdot sen(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(y) = - y - y \cdot (cos(x))\) =>
\({ \frac{d}{dx}(y) \cdot ( sen(x) + x ) = - y \cdot ( 1 + (cos(x))\) =>
\({ \frac{d}{dx}(y) = - \frac{y \cdot ( 1 + (cos(x))}{( sen(x) + x )}\) .
É isso aí.