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| Limite por definição lim(x,y) -> (0,0) (x^3+y^3) / (x^2 + y^2) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=9&t=10940 |
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| Autor: | Whitesttax [ 21 abr 2016, 18:25 ] |
| Título da Pergunta: | Limite por definição lim(x,y) -> (0,0) (x^3+y^3) / (x^2 + y^2) |
Não estou conseguindo resolver essa questão: Limite quando (x,y) -> (0,0) de \((x^3+y^3) / (x^2 + y^2)\) Tentei o método dos dois caminhos mas ambos deram 0, então tenho que ir para definição. Cheguei até aqui, \((\left | x^3 \right |+\left | y^3 \right |)/(x^2 + y^2) < \varepsilon\) Como tem o ^3 em cima, não faço ideia de como relacionar o o delta. Obrigado! |
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| Autor: | santhiago [ 21 abr 2016, 23:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite por definição lim(x,y) -> (0,0) (x^3+y^3) / (x^2 + y^2) |
Dica : \(( \forall (x,y ) \neq (0,0) ) \frac{x^2}{x^2 + y^2 } \leq 1\) .Daí , multiplicando ambos lados por \(|x|\) vc ganha o seguinte : \(\frac{|x|^3}{x^2 + y^2 } \leq |x|\) . Trocando \(x\) com\(y\) vc tbm ganha \(\frac{|y|^3}{x^2 + y^2 } \leq |y |\) . Segue daí que \(| \frac{x^3 + y^3 }{x^2 + y^2 } | \leq |x| + |y|\) . Esta majoração por sua vez já deixa claro que o limite existe e é zero ,já que a mesma define uma norma para o [tex] \mathbb{R}^2 [\tex] chamada a norma da soma . Logo , segundo esta norma , dado qq [tex] \epsilon > 0 [\tex] basta tomar [tex] \delta = \epsilon [\tex] . Limite é um conceito puramente topológico e para R^2 qualquer duas normas (mais geralmente qualquer espaço normado de dimensão finita ) geram a mesma topologia . Com a norma usual Euclidiana tbm é fácil mostrar que o limite existe e vale zero . Pois a norma euclidiana é majorada pela norma da soma . (i.e, para todo (x,y) : x^2 + y^2 <= ( |x| + |y| )^2 ) . Espero que ajude e lhe dê o insight para tarabalhar com problemas similares ... |
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| Autor: | Whitesttax [ 22 abr 2016, 18:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite por definição lim(x,y) -> (0,0) (x^3+y^3) / (x^2 + y^2) |
Você acha que eu teria problemas ao resolver a questão igual você fez na prova, caso a professora peça por definição? |
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