Teorema do Valor Médio - É aplicável a esta função? Se sim, diga o valor de c

[Estudioso]

Verifique se o Teorema do Valor Médio se aplica. E, em caso afirmativo, ache um número \(c\in (a,b)\) tal que \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

f(x) = |x|; a = -1 e b = 1

Obrigado

[Sobolev]

Bom dia,

O teorema do valor médio não é aplicável no intervalo [-1,1] porque a função f(x)=|x| não é diferenciável no ponto x=0. Independentemente disso, no caso apresentado, (f(b)-f(a))/(b-a) = 0. Como a derivada de f tem o valor -1 no intrervalo (-1,0), tem o valor 1 no intervalo (0,1) e não está definida em x=0, de facto não existe nenhum ponto c em que se tenha f'(c)=0.

Portanto, neste caso nem o teorema é aplicável nem a tese é verdadeira.


Nota: O teorema fornece condições suficientes para a existência da tal constante c, mas essas condições não são em geral necessárias. Assim, noutras situações, poderá acontecer que, mesmo que as condições não sejam verificadas, seja ainda assim possível encontrar uma constante c nas condições pretendidas.

[Estudioso]

Sobolev, tenho um outro exercício aqui com o mesmo enunciado gostaria que avaliasse minha resolução por favor.

f(x) = x³; a = -1 e b = 4.

Iniciei dizendo que f(x) = x³ é polinomial e, portanto, contínua em [-1,4] e derivável em (-1,4).

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos(-1, f(-1)) e por (4, f(4)) é dado por:

\(\frac{f(4)-f(-1)}{4-(-1)}=13\)

Logo, podemos encontrar pelo menos um c no intervalo (-1,4) tal que:

f ' (c) = 3(c)²

c² = 13/3

c = +- V13/3.

Estou concluindo que o Teorema do Valor Médio é aplicável para o valor positivo de c (o valor negativo de c não está no intervalo).

Estou correto?

Obrigado

[Sobolev]

Neste caso o teorema é aplicável... De resto começou precisamente por referir que a função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. O teorema garante que existe c no intervalo (-1,4) tal que f'(c)=13, isto é,

\(3c^2 = 13 \Leftrightarrow c = \pm \sqrt{\frac{13}{3}}\)

Ora, neste caso o c, cuja existência é garantida pelo teorema, será \(c = \sqrt{13/3}\). Em geral poderia até mais do que um valor de c, já que o teorema apenas afirma que existe pelo menos um c nestas condições.