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| Aplicação de derivada https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=1951 |
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| Autor: | Pacola [ 06 mar 2013, 01:43 ] |
| Título da Pergunta: | Aplicação de derivada |
Se r uma reta que passa pelo ponto (1,2) e intercepta os eixos nos pontos A=(a,0) ; B=(0,b) a>0 ; b>0. Determine r de modo que a distancia de A a B seja menos possivel |
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| Autor: | Fraol [ 06 mar 2013, 01:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Aplicação de derivada |
Boa noite, Há algo mais no enunciado? |
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| Autor: | Sobolev [ 06 mar 2013, 11:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Aplicação de derivada |
Em primeiro lugar, nestas condições, é fácil ver que a > 1 e b > 2. A equação de recta que passa no ponto (1 , 2) e tem declive (0 - 2)/(a - 1) é \(y - 2 = \frac{-2}{a-1} (x-1)\) Como b é a ordenada na origem desta recta, podemos concluir que \(b = 2+ 2 /(a-1)\). A distância entre os ponto A e B é dada por \(d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2}\) Assim, basta determinar o valor de a que minimiza a função d (como a raiz quadrada é uma função crescente podemos alternativamente determinar o mínimo de d^2). \((a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2)' = 2 a -\frac{2}{(a-1)^2} (a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2)'' = 2+\frac{4}{(a-1)^3} > 0\) Tratando-se de uma função estritamente convexa, tem no máximo um ponto de estacionaridade que será o seu minimizante global. Assim, apenas tem que resolver a equação \(2 a -\frac{2}{(a-1)^2} = 0\) e terá o valor de 'a' e portanto tambem a equação da recta r. OBS: Usando o Mathematica pode obter \(a = \frac{1}{3} \left(2+\sqrt[3]{\frac{25}{2}-\frac{3 \sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(25+3 \sqrt{69}\right)}\right)\) |
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