Calculo superior -Derivadas-ensino superior

[jomatlove]

Determine as equações das tangentes à curva \(y=x^2-4x\) que passam pelo ponto (1,-4)

[Fraol]

A derivada de \(x^2-4x\) é \(2x-4\) que é a inclinação das tangentes à função original no ponto genérico \((x,y)\).

A equação de uma reta qualquer que passa pelo ponto \((1,-4)\) é: \(y-(-4)=m(x-1) \Leftrightarrow y = m(x-1) - 4\). Onde \(m\) é a inclinação desta reta qualquer.

Se as retas que passam por \((1,-4)\) são tangentes à curva dada, então a interseção é dada pela igualdade:

\(x^2 - 4x = m(x-1) - 4\)

Substituindo o \(m\):

\(x^2 - 4x = (2x-4)(x-1) - 4\)

Resolvendo esta equação encontrará os valores de \(x\) da interseção, \(x=0, x=2\). Substituindo na expressão da curva \(y = x^2-4x\) terá \(y=0, y=-4\). Portanto os pontos são \((0,0)\) e \((2,-4)\).