Determinar o instante em que o raio é 25mm utilizando derivadas
15 Oct 2016, 20:22
Alguém sabe como resolver isso? Travei legal nesse exercicio
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Re: Determinar o instante em que o raio é 25mm utilizando derivadas [resolvida]
16 Oct 2016, 11:30
A massa é proporcional ao volume, se \(\rho\) designar a densidade (constante) da água temos que
\(M(t)= \frac{4 \rho \pi}{3} r(t)^3\)
Por outro lado, dizer que a taxa de aumento da massa é proporcional à superfície significa que existe uma constante k tal que
\(M'(t)=4k \pi r(t)^2\)
Derivando a primeira igualdade temos que
\(M'(t)=\frac{4 \rho \pi}{3} \cdot 3 r'(t) r(t)^2\)
e igualando as duas expressões anteriores para M'(t) obtemos
\(4k \pi r(t)^2 = 4 \rho \pi r'(t) r(t)^2 \Rightarrow
r'(t)=\frac{k}{\rho} \Rightarrow
r(t)= \frac{k}{\rho} t + k_2\)
Como sabemos que r(0)=0 e que r(20)=2, podemos ver que \(k_2=0\) e que \(\frac{k}{\rho} = \frac{1}{10}\), pelo que finalmente se tem
\(r(t) = \frac{1}{10} t\)
Portanto,
\(r(t)=25 \Leftrightarrow \frac{1}{10} t = 25 \Leftrightarrow t = 250\)
\(M(t)= \frac{4 \rho \pi}{3} r(t)^3\)
Por outro lado, dizer que a taxa de aumento da massa é proporcional à superfície significa que existe uma constante k tal que
\(M'(t)=4k \pi r(t)^2\)
Derivando a primeira igualdade temos que
\(M'(t)=\frac{4 \rho \pi}{3} \cdot 3 r'(t) r(t)^2\)
e igualando as duas expressões anteriores para M'(t) obtemos
\(4k \pi r(t)^2 = 4 \rho \pi r'(t) r(t)^2 \Rightarrow
r'(t)=\frac{k}{\rho} \Rightarrow
r(t)= \frac{k}{\rho} t + k_2\)
Como sabemos que r(0)=0 e que r(20)=2, podemos ver que \(k_2=0\) e que \(\frac{k}{\rho} = \frac{1}{10}\), pelo que finalmente se tem
\(r(t) = \frac{1}{10} t\)
Portanto,
\(r(t)=25 \Leftrightarrow \frac{1}{10} t = 25 \Leftrightarrow t = 250\)
Re: Determinar o instante em que o raio é 25mm utilizando derivadas
16 Oct 2016, 13:27
Nossa Sabolev, muito obrigado, você sempre me salvando hahahaha