Encontrar um ponto no gráfico...

[Universitário]

Alguém sabe como resolver??

Anexos

[Baltuilhe]

Boa noite!

Para resolver precisa encontrar o ponto de máximo da derivada da função, portanto, o ponto de máximo da derivada segunda.
Então:
\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}
f'(x)=\frac{-(1+x^2)'}{(1+x^2)^2}
f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}
f''(x)=\frac{(-2x)'(1+x^2)^2-(-2x)[(1+x^2)^2]'}{(1+x^2)^4}
f''(x)=\frac{-2(1+x^2)^2+(2x)[2(1+x^2)(1+x^2)']}{(1+x^2)^4}
f''(x)=\frac{2(1+x^2)[-(1+x^2)+4x^2]}{(1+x^2)^4}
f''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}
f''(x)=0
3x^2-1=0
x^2=\frac{1}{3}
x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\)

Como queremos ponto de MÁXIMO o sinal da derivada deve variar de positivo para negativo.
Sendo a função (numerador) uma função do segundo grau, com boca para cima, este ponto é o ponto NEGATIVO (raiz negativa) da função, pois antes desta raiz a função f''(x) é positiva e depois é negativa.
Então:
\(x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Agora, calculando a função para este ponto e a o valor da derivada (inclinação da reta tangente).
\(f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{1}{1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}
f'\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{-2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}{\left[1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\right]^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{16}{9}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\)

Agora, só montar a função:
\(y-\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\left(x-\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)
y=\frac{3\sqrt{3}}{8}x+\frac{9}{8}\)

Agora só terminar de resolver!

Espero ter ajudado!