Calcular a valorização mensal por n meses (Com logs de 2 e 3)

[Rayner]

Bom dia, dei uma pesquisada mas não consigo encontrar nada que tire minha dúvida. Agradeço a quem puder me ajudar.

Um investidor comprou R$ 2000,00 um lote de ações de uma empresa e o revendeu, após n meses, por R$ 4000,00. Admita que a valorização mensal dessas ações tenha sido de 8% a.m. Qual é o valor de n? (Use log2 = 0,3 e log3 = 0,48).

[Analisador]

\(V_{n}=V_{0}(1+j)^{n}\)

Com V₀ = 2000; V_n=4000 e j=0,08. Logo, temos:

\(4000=2000(1+0,08)^{n}\)

Resolvendo:

\(2=(1,08)^{n}\)

Tirando o log:

\(log2=nlog(1,08)\)

Dado que 1,08 é o mesmo que 108/100 e isolando o n, obtêm-se:

\(\frac{log2}{log(\frac{108}{100})}=n\)

Pela propriedade da divisão do log:

\(n=\frac{log2}{log108-log100}\)

Como log 100 é 2, e fatorando 108, tem-se:

\(n=\frac{log2}{log(2^{2}\cdot 3^{3})-2}\)

Pela propriedade da multiplicação do log, temos:

\(n=\frac{log2}{log(2^{2})+log(3^{3})-2}\)

Que é o mesmo que:

\(n=\frac{log2}{2log2+3log3-2}\)

Substituindo os valores de log2=0,3, log3=0,48 e resolvendo a equação:

\(\frac{0,3}{0,04}=7,5\)

Portanto, n=7,5 meses.




Obs: O valor aproximado correto seria 9 meses, entretanto a aproximação dos valores do logs cedidas pelo exercício, geram esta discrepância! Experimente, dividir 0,3 (valor aproximado do log 2) por 0,03342 (valor aproximado do log 1,08).