Teorema do resto (polinômio)

[LkN]

Olá galera, estava resolvendo os exercícios da minha apostila de matemática, e me reparei com o seguinte problema:
"A divisão de um polinômio \(p(x)\) por \(x - 1\) dá resto 2 e por \(x + 1\) dá resto 3. Qual é o resto da divisão de \(p(x)\) por \((x-1) \cdot (x+1)\)?''.
E não consegui resolve-lo, se alguém puder me ajudar eu agradeço muito.

[danjr5]

- A divisão do polinômio \(p(x)\) por \(x - 1\) dá resto 2, então \(p(1) = 2\)

- A divisão do polinômio \(p(x)\) por \(x + 1\) dá resto 3, então \(p(- 1) = 3\)

Consideremos \(q(x)\) o quociente e \(r=ax+b\) o resto da divisão do polinômio \(p(x)\) por \((x - 1)(x + 1)\), segue que

\(\fbox{p(x) = q(x) \cdot (x + 1)(x - 1) + r}\)

\(p(x) = q(x) \cdot (x - 1)(x + 1) + ax + b\)


Quando \(p(1)\):

\(P(1) = q(1) \cdot (1 - 1)(1 + 1) + a \cdot 1 + b\)

\(2 = a + b\)


Quando \(p(- 1)\):

\(P(- 1) = q(- 1)( - 1 - 1)( - 1 + 1) + a \cdot (- 1) + b\)

\(3 = - a + b\)

Resolvendo o sistema:

\(\begin{cases} a + b = 2 \\ - a + b = 3\end{cases}\)

Encontramos, \(a = - \frac{1}{2}\) e \(b = \frac{5}{2}\)

Logo,
\(r = ax + b\)


\(r = \fbox{\fbox{- \frac{x}{2} + \frac{5}{2}}}\)

[LkN]

Valeeeu cara, Ajudo demais.

[danjr5]

Ok.

Até breve!!