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por que x³-p³/x-p = (x-p)(x²-xp-p²)/x-p

Repare que x = p é uma raíz do polinómio \(x^3-p^3\). Assim, esse polinómio pode ser factorizado na forma

\(x^3-p^3 = (x-p)(ax^2+bx+c)\)

Os coeficientes a,b,c podem ser obtidos igualando coeficientes nos dois polinómios que figuram na igualdade anterior ou, de forma equivalente aplicando a regra de Ruffini:

\(\begin{tabular}{c|cccc}
& 1 \qquad & 0 \qquad & 0 \qquad & -p \qquad \\
& & p \qquad& p^2\qquad & p^3\qquad\\ \hline
p & 1\qquad & p\qquad & p^2\qquad & 0\qquad
\end{tabular}\)

Vemos deste modo que \(x^3-p^3 = (x-p)(x^2+p x + p^2)\). De resto, se fizer esta última multiplicação, rapidamente se convence que a igualdade é verdadeira.