Fórum de Matemática
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Errei na hora de colocar a questão. A certa é essa:

(Olimpíada Inglesa de Matemática) Se a e b são números inteiros positivos que satisfazem a equação:

\((\sqrt[3]{a}+ \sqrt[3]{b}-1)^{2}= 49+20.\sqrt[3]{6}\)

Calcule a e b.

Duas contribuições:

1) Tanto a como b devem ser inferiores a 621577, uma vez que tanto \(a^{1/3}\) como \(b^{1/3}\) devem ser inferiores a \(40 + 20 \sqrt[3]{6}\).

2) Tendo em conta 1), um pequeno programita feito à pressão para o efeito permitiu concluir que a = 48000 e b=117649 (ou vice-versa).

Claro que não é esta a resolução desejável ...

Tem a certeza que é esse o enunciado ? Encontrei um enunciado semelhante nas Olimpíadas Inglesas de 2000...
Encontrar inteiros positivos a,b tais que
\((\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-1)^2 = 49 + 20 \sqrt[3]{6}\)

Existe uma resolução muito simples, apenas não garante por si só a unicidade da solução...

\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 49 + 20 \sqrt[3]{6} \Leftrightarrow
\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 49 + \sqrt[3]{6\times 20^3} \Leftrightarrow
\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 49 + \sqrt[3]{48000}\)

Uma solução possível é identificar cada parcela do lado esquerdo da igualdade com uma parcela do lado direito. Desse modo somos conduzidos a

\(b = 48000
a = 49^3 = 117649\)

ou

\(a = 48000
b = 49^3 = 117649\)

Saliento que este raciocinio, embora permita identificar soluçãoes do problema não exclui por si só a existência de outras soluções.

Isso mesmo, eu queria pedir desculpa, coloquei a questão errada.