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| indução finita https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=2004 |
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| Autor: | karinap [ 13 mar 2013, 14:46 ] |
| Título da Pergunta: | indução finita |
Sejam u, v dois reais com u>v>0, mostre que u^n - v^n > (u-v)^n n natural, > ou =2 usar indução finita Obrigada!!! |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 14 mar 2013, 17:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: indução finita |
Para \(n=2\) temos que \(u^2-v^2>(u-v)^2\Leftrightarrow 2uv>2v^2\Leftrightarrow u>v\). Para complementar a demonstração por indução falta provar que se \(u^n-v^n>(u-v)^n\) (hipótese de indução) então \(u^{n+1}-v^{n+1}>(u-v)^{n+1}\) (tese de indução). Ora \(u^{n+1}-v^{n+1}=u^{n+1}-uv^n+uv^n-v^{n+1}=u(u^n-v^n)+(u-v)v^n>u(u^n-v^n)\)pois \((u-v)v^n>0\). Como, por hipótese de indução, \(u^n-v^n>(u-v)^n\), temos que \(u(u^n-v^n)>u(u-v)^n>(u-v)^{n+1}\) pois \(u>u-v\). |
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| Autor: | karinap [ 16 mar 2013, 23:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: indução finita |
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