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alguem me consegue resolver este problema


Um forno estava em plena laboração e houve uma falha de energia electrica durante algumas horas. Desde o instante em que houve a falha de energia eléctrica, a temperatura no interior do forno é dada pela expressão : \(T(t) = 2^t + 256 \times 2^{- t}\) ; \(t\) em horas e \(T\) em graus Celsius.

1) Qual a temperatura do interior do forno , no momento em que houve a falha de energia eléctrica?

2) A avaria ocorrida fez com que a temperatura interior do forno descesse até aos 32ºc . A partir desse instante, a energia foi restablecida e a temperatura voltou a subir. Durante quanto tempo houve falha de energia elétrica?

3) Ao fim de quanto tempo foi restablecida a temperatura inicial ( instante da falha ) ?

4) Durante quantas horas a temperatura foi inferior a 130ºc ?

\(T(0) = 2^0 + 256 \cdot 2^{-0} =257\)



\(T(t) = 32 \quad \Leftrightarrow \quad 2^t + 256 \cdot 2^{-t} = 32 \quad \Leftrightarrow
(2^t)^2-32 \cdot 2^t + 256 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2^t = \frac{32\pm \sqrt{32^2-4\cdot 1\cdot 256}}{2} \Leftrightarrow
2^t = 16 \quad \Leftrightarrow \quad t = 4\)



\(T(t) = 257 \quad \Leftrightarrow \quad 2^t + 256 \cdot 2^{-t} = 257 \quad \Leftrightarrow
(2^t)^2-257 \cdot 2^t + 256 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2^t = \frac{257\pm \sqrt{257^2-4\cdot 1\cdot 256}}{2} \Leftrightarrow
2^t = 1 \vee 2^t = 256 \quad \Leftrightarrow \quad t = 0 \vee t = 8\)

Portanto a temperatura foi restabelecida ao fim de 8 horas.



\(T(t) = 130 \quad \Leftrightarrow \quad 2^t + 256 \cdot 2^{-t} = 130 \quad \Leftrightarrow
(2^t)^2-130 \cdot 2^t + 256 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2^t = \frac{130\pm \sqrt{130^2-4\cdot 1\cdot 256}}{2} \Leftrightarrow
2^t = 2 \vee 2^t = 128 \quad \Leftrightarrow \quad t = 1 \vee t = 7\)

A temperatura foi inferior a 130º entre os instantes t = 1 e t=7, portanto durante seis horas.