Provar que n(n+1)(2n+1) é múltiplo de 6

[marques_gc]

Olá a todos,

Faz dias que não consigo resolver este exercício.

Toda ajuda é bem vinda:

Exercício: Utilizando a congruências e disjunção de casos, mostre que para todo inteiro natural, n\(\in\)N, o inteiro \(n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )\) é multiplo de 6.

Obrigado antecipado pela ajuda

[marques_gc]

Ola amigos,

Continuo procurar uma resolução do exercício, no qual o meu raciocino sem convicção me leva a seguintes passos:

Para todo inteiro natural n E N, o inteiro n (n+1) (2n+1) é múltiplo de 6
Os números 2 e 3 são múltiplos de 6
Os números 2 e 3 são divisores de 6

Em-seguida, como n é par, então a expressão é múltiplo de 2.
Ate pude chegar...

[João P. Ferreira]

Os números 2 e 3 NÃO são múltiplos de 6, são divisores de 6

Tente com indução matemática, i.e.

Para n=1 é múltiplo de 6

\(1(1+1)(2.1+1)=6\) é múltiplo de 6

Agora faça

Se é válido para \(n\), também é válido para \(n+1\)

Ou seja, considerando que \(n(n+1)(2n+1)\) é múltlipo de 6, prove que:

\((n+1)(n+2)(2(n+1)+1)\) também é múltiplo de 6

OU então:

porque que é simultaneamente múltiplo de 3 e múltiplo de 2 (número par), e então será múltiplo de 6

Saudações

[marques_gc]

Obrigado pela ajuda.

Bem! vou tentar seguir o teu conselho, e acho que temos 2 possibilidades?

Seja, escolho está :
Simultaneamente, o múltiplo de 3 e múltiplo de 2 (número par), então será múltiplo de 6

Si não ando errado outra vez.
Digo que 3 casos são possíveis pela aplicação da congruência modulo de 3, no qual:

Si n=3K para um k inteiro natural
Si n=3k+1 para um K inteiro natural
Si n=3k+2 para um K inteiro natural

Si \(n=3k\Longrightarrow n\left 3k( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )=3k'\)
Si \(n=3k+1 \Longrightarrow 2n+1=6k+3\) e \(3k\left ( n+1 \right )\left ( 2k+1 \right )=3k''\)
Si \(n=3k+2 \Longrightarrow n+1=3k+3\) e \(3n\left ( k+1 \right )\left ( 2n+1 \right )=3k'''\)

Espero que é isso?

Obrigado sem fim...

[marques_gc]

Boas João,

Reconheço de uma forma geral que tenho um nível fraco na matemática, mas tento aprender no máximo e há situações em que não consigo sozinho e claro faço um recorrido a este SUPER forum.

Mais uma vez, necessito da vossa ajuda para terminar este exercício... teu ou de qualquer outra pessoa utilizador deste forum...

Agradeço desde já e de coração qualquer ajuda.

[Rui Carpentier]

Pode ser feito da seguinte maneira. Um número é múltiplo de 6 se e só se é múltiplo de 2 e de 3.
\(n(n+1)(2n+1)\) é múltiplo de 2 (resp. 3) se pelo menos um dos três termos do produto é múltiplo de 2 (resp. 3). Isto é uma propriedade geral dos números primos (que é o caso de 2 e 3), \(a\times b\) é múltiplo de \(p\) primo se e só se \(a\) ou \(b\) (um deles ou os dois) é múltiplo de \(p\).
\(n(n+1)\) é múltiplo de 2 porque ou n ou n+1 é par. Logo \(n(n+1)(2n+1)\) é par.
\(n(n+1)\) só não é múltiplo de 3 quando \(n=3k+1\) e \(n+1=3k+2\) (caso contrário teríamos \(n\) múltiplo de 3 ou \(n+1\) múltiplo de 3). Mas neste caso temos que \(2n+1=6k+3\) logo múltiplo de 3. Portanto temos \(n(n+1)(2n+1)\) múltiplo de 3.

[marques_gc]

Ola Rui,

Foi com muita satisfação com que recebi a tua mensagem, muito obrigado por tudo...

Tive muitas dificuldades em compreender o principio do referido exercício.

A tua resposta me parece lógico.

Obrigado mais uma vez e ate próxima.