Polinômios de 2º, 3º e 4º

[chaiderlima]

Prezados
Alguém saberia como resolver estes três exercícios . Tentei resolver o número 5 , mas parei na equação
P(1)=0 ▶️ A(1)^2 +b(1)+ c= 0 ▶️A+B +c =0
P(2) =0 ▶️ A(2)^2 + b(2)+c=0 ▶️ 4a +2b + c = 0
P(3) =1 ▶️ A(3) ^2 +b(3)+c=1 ▶️ 27a + 3b + c = 1
Como resolvo isto ?

Grato
Chaider

Anexos

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Boa tarde!

a)
P(1)=0
P(2)=0
P(3)=1
Veja que tanto para x=1 quanto para x=2 o valor do polinômio se iguala a zero. Portanto, são raízes do polinômio.
Equação genérica:
\(P(x)=a(x-x')(x-x'')
P(x)=a(x-1)(x-2)\)

Veja que substituindo 1 ou 2 ambas as respostas serão zero.
Agora, temos que P(3)=1. Então:
\(P(3)=a(3-1)(3-2)=1
a(2)(1)=1
a=\frac{1}{2}\)
Então:
\(P(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-2)=\frac{1}{2}(x^2-3x+2)
P(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1\)

b)
Novamente as três raízes:
x=-1, x=1 e x=3. Então:
\(P(x)=a(x-(-1))(x-1)(x-3)
P(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)
P(4)=a(4+1)(4-2)(4-3)=2
a(5)(2)(1)=2
a=\frac{1}{5}\)

Para encontrarmos o termo a:
\(P(x)=\frac{1}{5}(x+1)(x-1)(x-3)=\frac{1}{5}(x^3-3x^2-x+3)
P(x)=\frac{1}{5}x^3-\frac{3}{5}x^2-\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}\)

c)
Raízes do polinômio de 4o. grau:
1, 2, i e -i
Então:
\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-i)(x+i)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2\)

Espero ter ajudado!

[chaiderlima]

Muito obrigado , nota 10000