determine o valor da seguinte expressão

[Zile]

Sabe se que 25^x+25^-x=34. Calcule 5^x+5^-x

[jorgeluis]

\(25^x+\frac{1}{25^x}=34
\frac{25^{2x}+1}{25^x}=34
25^{2x}+1=25^x.34
log_{25} 25^{2x}+log_{25} 25^{0}=log_{25} (25^x.34)
2x+0=x+log_{25} 34
x=log_{25} 34\)

\(x \approx 1,0956\)

\(5^x+5^{-x}=
5^{log_{25} 34}+5^{-log_{25} 34}=
5^{log_{5^2} 34}+5^{log_{5^2} \frac{1}{34}}=
5^{\frac{1}{2}log_{5} 34}+5^{\frac{1}{2}log_{5} \frac{1}{34}} \approx 6\)

[Bruno Linhares]

Como \(25^x+\frac{1}{25^x}=34\), temos que como\(\left( 5^x+\frac{1}{5^x}\right )^2=25^x+\frac{1}{25^x}+2,\) então \(\left( 5^x+\frac{1}{5^x}\right )^2=36 \Rightarrow 5^x+\frac{1}{5^x}=\sqrt{36} \Rightarrow 5^x+\frac{1}{5^x}=\pm 6\)

[jorgeluis]

boa visão bruno,
vivendo e aprendendo.