Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)?

[arturlirasantos]

Será que não há uma explicação usando apenas regras básicas como distributividade, etc? Pergunto isto porque este trecho veio do volume 1 de 10 para alunos de ensino médio.

[Sobolev]

Pode tentar usar o binómio de Newton

\((1+a)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} 1^{k-j} a^j = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} a^j = 1 + k a + \sum_{j=2}^k \binom{k}{j} a^j\)

Repare que já começa a aparecer a expressão desejada... Consegue prosseguir?

[Rui Carpentier]

Também se pode fazer por indução:

Se \((1+a)^k \ge 1 +ka\) então

\((1+a)^{k} (1+a) \ge (1+ka)(1+a) = 1+ka+a+ka^{2} = 1+(k+1)a+ka^{2} \ge 1+(k+1)a\)

A base de indução, k=0, é trivial.

* Na primeira desigualdade usamos o facto de \(a\ge -1\).

[João P. Ferreira]

Estamos discutindo coisas diferentes. O Artur pediu uma demonstração aritmética e mesmo que tenhamos resto, ainda assim ela é uma demonstração algébrica. O mais próximo que podemos chegar da aritmética é usando as substituições valores numéricos (cães castanhos).

A equação está apresentada como sendo uma equação algébrica (tem as variáveis \(a\) e \(k\) como incógnitas) logo a demonstração apenas pode ser algébrica, como muito bem apresentou o Sobolev.

[João P. Ferreira]

Também se pode fazer por indução:

Bem verdade caro Carpentier
Esquecia-me desse pormenor, mas em qualquer caso, apenas uma formalidade, julgo que resolver por indução é também um método algébrico. Pelo menos para o passo de indução.

PS: editei a sua mensagem para se ver a fórmula, espero que não haja problema
Há um bug no LaTex em alguns expoentes com números; em vez de colocar a^2 coloque a^{2}

abraços

[Rui Carpentier]

PS: editei a sua mensagem para se ver a fórmula, espero que não haja problema
Há um bug no LaTex em alguns expoentes com números; em vez de colocar a^2 coloque a^{2}

Obrigado, João, pela edição da mensagem e pela informação de como evitar o bug (espero não voltar a me esquecer).