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Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=12619 |
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Autor: | arturlirasantos [ 24 abr 2017, 14:11 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Será que não há uma explicação usando apenas regras básicas como distributividade, etc? Pergunto isto porque este trecho veio do volume 1 de 10 para alunos de ensino médio. |
Autor: | Sobolev [ 24 abr 2017, 14:59 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Pode tentar usar o binómio de Newton \((1+a)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} 1^{k-j} a^j = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} a^j = 1 + k a + \sum_{j=2}^k \binom{k}{j} a^j\) Repare que já começa a aparecer a expressão desejada... Consegue prosseguir? |
Autor: | Rui Carpentier [ 26 abr 2017, 17:01 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Também se pode fazer por indução: Se \((1+a)^k \ge 1 +ka\) então \((1+a)^{k} (1+a) \ge (1+ka)(1+a) = 1+ka+a+ka^{2} = 1+(k+1)a+ka^{2} \ge 1+(k+1)a\) A base de indução, k=0, é trivial. * Na primeira desigualdade usamos o facto de \(a\ge -1\). |
Autor: | João P. Ferreira [ 27 abr 2017, 14:29 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
RegisCortes Escreveu: Estamos discutindo coisas diferentes. O Artur pediu uma demonstração aritmética e mesmo que tenhamos resto, ainda assim ela é uma demonstração algébrica. O mais próximo que podemos chegar da aritmética é usando as substituições valores numéricos (cães castanhos). A equação está apresentada como sendo uma equação algébrica (tem as variáveis \(a\) e \(k\) como incógnitas) logo a demonstração apenas pode ser algébrica, como muito bem apresentou o Sobolev. |
Autor: | João P. Ferreira [ 27 abr 2017, 14:34 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Rui Carpentier Escreveu: Também se pode fazer por indução: Bem verdade caro Carpentier Esquecia-me desse pormenor, mas em qualquer caso, apenas uma formalidade, julgo que resolver por indução é também um método algébrico. Pelo menos para o passo de indução. PS: editei a sua mensagem para se ver a fórmula, espero que não haja problema Há um bug no LaTex em alguns expoentes com números; em vez de colocar a^2 coloque a^{2} abraços |
Autor: | Rui Carpentier [ 27 abr 2017, 20:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
João P. Ferreira Escreveu: PS: editei a sua mensagem para se ver a fórmula, espero que não haja problema Há um bug no LaTex em alguns expoentes com números; em vez de colocar a^2 coloque a^{2} Obrigado, João, pela edição da mensagem e pela informação de como evitar o bug (espero não voltar a me esquecer). |
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