Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

a) 3 + 9 + 15 +21 + ... + (6n – 3) = 3n^2, ∀n > 1.

Utilizando indução matemática(fraca):

primeiro prove para o caso base:
no caso como é para todo n maior que 1 (∀n > 1), logo pegaremos o primeiro elemento que vem depois de 1, no caso o 2.

verifique se ele é válido....

no caso com n=2, temos que provar que a soma dos dois primeiros elementos da sequência (3 + 9 + 15 +21 + ... + (6n – 3)) é igual a 3n², se os dois primeiros elementos são 3 e 9, então a soma tem que dar doze(3+9),
se observarmos doze é o mesmo resultado que 3*2²=3*4=12, logo o caso base passa.(verifique se no seu exercício é realmente ∀n > 1 e não ∀n >= 1 pois com n igual a 1 ele também passa, enfim isso não importa muito só observação mesmo!).

beleza então já temos nosso caso base provado agora sim vem a parte da indução, que no caso você vai supor que para um n = k (sendo k um número qualquer) e vai provar que ele também vale para n = k+1.

então primeiro:

3+9+15+21+...+(6k-3) = 3k² (isso você supõe, essa é a parte da indução que muitos não conseguem entender, mas para você provar por indução sempre tem que supor que pra um elemento a propriedade é válida e provar para seu elemento imediatamente sucessor!) obs: supor = considerar ser válido!

beleza então agora vamos tentar provar que para k+1 essa propriedade é válida!

temos então:

3+9+15+21+...+(6(k+1)-3) essa é a soma para k+1. nós queremos mostrar que isso é igual a (3(k+1)²).
agora que está a sacada abra um pouco mais essa soma para a esquerda das reticências.

3+9+15+21+...+(6k-3)+(6(k+1)-3) mas olha só encontramos que parte da soma para k+1, é a mesma para k, e nós sabemos que essa soma que está em azul na verdade é igual a 3k², então vamos substituir na mesma por esse valor.

3k²+(6(k+1)-3)
agora essa parte é desenvolvimento da equação para que ela fique igual a (3(k+1)²), na verdade elas já são equivalentes, mas para provarmos de fato devemos torná-las iguais na fórmula.

3k²+(6(k+1)-3) (expandir
3k²+6k+6-3
3k²+6k+3(coloque o 3 em evidência)
3(k²+2k+1)(quadrado de k+1, verifique se tiver dúvidas, (k+1)²=(k²+2k+1))
3(k+1)²

pronto provado!

qualquer dúvida só perguntar!