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10. Seja \(x_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n\) e \(y_{n}=\left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}\) . Mostre que \(lim x_{n}.y_{n}=1\) e
deduza daí que \(lim \left ( 1-\frac{1}{n} \right )^n=\frac{1}{e}\) .

A minha dica para resolver esta questão é colocar em forma exponencial e trabalhar com o ln.

Já que \(e^{\ln x}=x\)

\(\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n\cdot \left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}=\exp \left ( \ln \left [ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n\cdot \left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )^{n+1} \right ] \right )\)

O exponencial pode ser trabalhado como constante, ou seja pode ficar fora do limite, desta forma basta usar as regras operatórias dos logaritmos. Ali separa na soma, e o n e o n+1 vem para fora a multiplicar. Com uma mudança de variável consegue resolver isso recorrendo a um limite notável.

Teoricamente o \(\lim \left ( \ln \left [ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n\cdot \left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )^{n+1} \right ] \right )\) será zero para que resulte em \(e^0=1\)