27 abr 2013, 03:29
Encontre todas as soluções reais do sistema de equações:
4x²/ (1+4x²) = y
4y²/(1+4y²)=z
4z²/(1+4z²)=x
27 abr 2013, 17:55
É fácil ver que se uma das variáveis for zero então as restantes também o são, e que x=y=z=0 é solução. Toma-se então a seguinte mudança de variáveis x'=1/x, y'=1/y e z'=1/z. Ficamos então com o sistema:
4y'=x'^2+4 (positivo)
4z'=y'^2+4 (positivo)
4x'=z'^2+4 (positivo)
Com um raciocínio idêntico ao exercício anterior é fácil ver que as variáveis terão que ser todas iguais (não pode haver uma maior que a outra: por exemplo x'<y' => y'<z' => z'<x' (o que contradiz a transitividade de <)). Donde se tira facilmente que x'=y'=z'=2 logo x=y=z=1/2.