Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Provar por PIF:

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 > \frac{n^4}{4}\: (\forall n \in \mathbb{N}^*)\)

Como faria?

Fiz assim, primeiro:

\(n = 1 \\
1^3 > \frac{1^4}{4} \\
1 > \frac{1}{4} \\\)

Segundo:
(Hipótese)
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 > \frac{(n^4)}{4}\)
Provando:
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 > \frac{(n+1)^4}{4} \\
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 > \frac{(n^4)}{4} + \frac{4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}{4} \\
n^3 + 3n^2 + 3n + 1 > \frac{4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}{4} \\
4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 > 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 \\
6n^2+8n+3 > 0\)
Para qualquer número natural não nulo essa proposição é verdadeira.

Seria assim? Me parece que ficou meio vago provar dessa forma, apesar de realmente a última proposição ser verdadeira.

O raciocínio e os cálculos estão correctos. Do ponto de vista formal deve indicar explicitamente, entre cada duas proposições, se estas são equivalentes os se apenas se verifica alguma implicação.