Demonstração: "Se x é um número real, então x² ≥ -x"
Enviado: 24 mar 2020, 20:20
Olá, amigos(as)! Tudo bem?
Tenho hoje uma dúvida muito simples, mas que me causou bastante trabalho. Podem me ajudar, por favor?
Trata-se da proposição citada no título. Vou repeti-la, para poder detalhar melhor minha dúvida:
Se \(x\) é um número real, então \(x² ≥ -x\)
(Para maiores informações, essa proposição se encontra nos exercícios do Capítulo 1 - Elementos da Linguagem e da Lógica Matemática, da obra "Cálculo a uma variável - Uma introdução ao cálculo", de Iaci Malta, Sinesio Pesco e Hélio Lopes.)
Minha dúvida recai mais sobre o modo de raciocinar(demonstrar o valor lógico) frente a essa proposição do que na resposta em si(embora ela também seja uma informação importante).
Abaixo vou colocar os passos lógicos que dei, e espero que vocês me auxiliem a validar essa sequência, pois é em relação a ela que me sinto inseguro.
Se \(x² ≥ -x\), então a proposição é verdadeira para quaisquer valores fora do intervalo \(-1 < x < 0\), uma vez que
Se \(x = -\frac{1}{2} \Longrightarrow (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \Longrightarrow \frac{1}{4} \le (\frac{1}{2})\)
Ou seja, \(-\frac{1}{2}\) é um contraexemplo para a proposição. Estou correto até aqui?
Bem, abaixo eu vou dar um exemplo para a proposição, pois ela vai abrir as questões que me incomodam:
Se \(x = 5\), então \(5^2 \ge - (-5)\), de modo que \(25 \ge 5\). Isso está correto?
Pois bem, se a proposição acima está correta, é possível escrevê-la da seguinte forma?
Se \(x² ≥ -x\), então \(x ≥ -\sqrt{x}\) ?
Partindo daí, utilizando o mesmo valor (5) como exemplo, é válido afirmar que
\(5 \ge - \sqrt{5}\) ?
E se eu utilizasse o seu oposto, haveria solução dentro do conjunto \({R}\) ?
Questiono isso pois imagino que, se \(x = -5\), então
\((-5 )\ge - \sqrt{-5}\)
Isso faz algum sentido?
Essa questão me deixou muito confuso. Será que estou esquecendo ou confundindo alguma propriedade? Onde está a falha no meu raciocínio? Podem me auxilar, por favor?
Perdão pelo post imenso.
Até breve!
Tenho hoje uma dúvida muito simples, mas que me causou bastante trabalho. Podem me ajudar, por favor?
Trata-se da proposição citada no título. Vou repeti-la, para poder detalhar melhor minha dúvida:
Se \(x\) é um número real, então \(x² ≥ -x\)
(Para maiores informações, essa proposição se encontra nos exercícios do Capítulo 1 - Elementos da Linguagem e da Lógica Matemática, da obra "Cálculo a uma variável - Uma introdução ao cálculo", de Iaci Malta, Sinesio Pesco e Hélio Lopes.)
Minha dúvida recai mais sobre o modo de raciocinar(demonstrar o valor lógico) frente a essa proposição do que na resposta em si(embora ela também seja uma informação importante).
Abaixo vou colocar os passos lógicos que dei, e espero que vocês me auxiliem a validar essa sequência, pois é em relação a ela que me sinto inseguro.
Se \(x² ≥ -x\), então a proposição é verdadeira para quaisquer valores fora do intervalo \(-1 < x < 0\), uma vez que
Se \(x = -\frac{1}{2} \Longrightarrow (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \Longrightarrow \frac{1}{4} \le (\frac{1}{2})\)
Ou seja, \(-\frac{1}{2}\) é um contraexemplo para a proposição. Estou correto até aqui?
Bem, abaixo eu vou dar um exemplo para a proposição, pois ela vai abrir as questões que me incomodam:
Se \(x = 5\), então \(5^2 \ge - (-5)\), de modo que \(25 \ge 5\). Isso está correto?
Pois bem, se a proposição acima está correta, é possível escrevê-la da seguinte forma?
Se \(x² ≥ -x\), então \(x ≥ -\sqrt{x}\) ?
Partindo daí, utilizando o mesmo valor (5) como exemplo, é válido afirmar que
\(5 \ge - \sqrt{5}\) ?
E se eu utilizasse o seu oposto, haveria solução dentro do conjunto \({R}\) ?
Questiono isso pois imagino que, se \(x = -5\), então
\((-5 )\ge - \sqrt{-5}\)
Isso faz algum sentido?
Essa questão me deixou muito confuso. Será que estou esquecendo ou confundindo alguma propriedade? Onde está a falha no meu raciocínio? Podem me auxilar, por favor?
Perdão pelo post imenso.
Até breve!