Provavelmente quem colocou a questão já deve saber a resposta, mas para quem poder interessar aqui vai um resolução. O que se pretende é encontrar quantos números de 5 algarismo (vamos designar por \(A\),\(B\),\(C\),\(D\) e \(E\), ou seja, o número escreve-se em notação decimal* da forma \(ABCDE\)) é que há com as seguintes condições: 1º Os algarismos são distintos; 2º \(B=E+6\); 3º \(A\times B= C\times D\times E\) Das primeira e terceira condições resulta que nenhum dos algarismos pode ser 0, 5 ou 7. Se um deles o fosse teria de haver outro igual para termos ambos os produtos da 3ª condição iguais (a zero, ou a um múltiplo de 5 ou a um múltiplo de 7). Sobra então que as únicas possibilidades para \(B\) e \(E\) (atendendo à 2ª condição) são \((B,E)=(8,2)\) ou \((B,E)=(9,3)\). Vejamos que não podemos ter \((B,E)=(8,2)\): Tal implicaria que \(8\times A= 2\times C\times D \Leftrightarrow 4\times A= C\times D\). Nem \(C\) nem \(D\) podem ser 4 pois o outro teria de ser igual a \(A\). E com 6 como o único algarismo par disponível para \(C\) ou \(D\) é impossível ter o produto dos dois como múltiplo de 4. Resta, portanto, \((B,E)=(9,3)\). Neste caso temos \(9\times A= 3\times C\times D \Leftrightarrow 3\times A= C\times D\). Portanto ou \(C\) ou \(D\) tem de ser múltiplo de 3, e o único algarismo com essa condição que resta é o 6. Ou seja, \(C\) ou \(D\) é igual a 6. Temos então que \(A\) é o dobro do algarismo \(C\) ou \(D\) que é diferente de 6. Logo, \(A\) é igual a 2, 4 ou 8 pois são os únicos algarimos pares além do já atribuído 6 e do já excluído 0. Temos então seis soluções: 29613, 49623, 89643, 29163, 49263 e 89463.
* Claro que este exercício podia ser feito (com respostas diferentes) para diferentes bases, mas parece-me que a intenção é considerar a convencional base decimal.
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