Vetores linarmente independentes, base e sub-espaço

[Engenet]

Sejam \(u\) e \(v\) vetores linearmente independentes em um espaço vetorial \(V\). Dado \(\alpha \neq 0\), prove que o conjunto de dois elementos {\(v\), \(v+\alpha u\)} é uma base do sub-espaço geradi pelo vetores \(v\), \(v\)+\(u\), \(v\)+2\(u\), ..., \(v\)+\(nu\).

[Engenet]

Correção:

Sub-espaço gerado por pelos vetores v, v + u, v + 2u, ..., v + nu.

[Rui Carpentier]

Que \(v\) e \(v+\alpha u\) são linearmente independentes resulta do facto de u e v serem L.I.: se \(\lambda_1 v+\lambda_2(v+\alpha u)=0 \Leftrightarrow \lambda_1 +\lambda_2 =0 \mbox{ e }\lambda_2 \alpha=0 \Leftrightarrow \lambda_1 =\lambda_2 =0\) (no 1º passo usamos o facto de u e v serem L.I., no 2º passo usamos o facto de \(\alpha\not= 0\)).
Depois é só ver que qualquer vetor \(v+ku\) com \(0\le k \le n\) pode ser gerado por \(v\) e \(v+\alpha u\). E de facto, isso é verificado: \(v+ku = \frac{k}{\alpha}(v+\alpha u)+\left(1-\frac{k}{\alpha}\right)v\).