Demonstração de desigualdade com 3 variáveis

[petras]

Se a, b e c são números positivos tais que a²+b²−ab=c², prove que (a−c)(b−c)≤0.

[Rui Carpentier]

\(a^2+b^2-ab=c^2 \Leftrightarrow a^2-c^2=ab-b^2 \Leftrightarrow (a-c)(a+c)=(a-b)b \Leftrightarrow a-c=\frac{(a-b)b}{a+c}\). Do mesmo modo, \(b-c=\frac{(b-a)a}{b+c}=-\frac{(a-b)a}{b+c}\). Logo,
\((a-c)(b-c)=-\frac{(a-b)^2ab}{(a+c)(b+c)}\le 0\).

[petras]

Ótima resolução, Grato.