Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

O seguinte conjunto é um sub-espaço vetorial de \(\mathbb{R}^3\)?

S = {(x, y, z) \(\in \mathbb{R}\) : x + y \(\in \mathbb{Q}\)}

Supondo que (0, 0, 0) esteja em S, temos que 0 + 0 = 0, e 0 é racional.

Fazendo soma de dois termos presentes em S, temos:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). (x1 + x2) + (y1 + y2) deve originar um número racional. Podemos fazer
\(\Rightarrow\) x1 + y1 + x2 + y2 = Número racional + Número racional = Número racional.

Mas, na prova de multiplicação por escalar, fiquei confuso.
c(x, y, z) = (cx + cy + cz) \(\Rightarrow\) cx + cy = c(x + y) = c*Número racional.. a multiplicação de um escalar, que pertence aos reais, por um racional, é igual a número racional?

Estou respondendo a questão do jeito certo?

Está certo. Falha no axioma do produto por escalar. O produto de um racional por um irracional resulta num irracional. E é bem fácil de provar isso.

Vamos partir do principio que: racional * irracional = racional
\(\frac{a}{b}\cdot x=\frac{m}{n}\Rightarrow x=\frac{m}{n}\cdot \frac{b}{a}\)
Com \(a,b,m,n\in \mathbb{Z},\: x\in\mathbb{R}\) e \(\:n,a,b\neq 0\)

Nesta igualdade mostra que x é racional o que é um absurdo. Partimos do principio que x é irracional. Logo o produto tem de resultar num irracional.