| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=12222 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | Engenet [ 12 jan 2017, 13:52 ] |
| Título da Pergunta: | Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta |
Verifique se \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 e determine quais são soma direta: (a) W1 = {(x, y, z); x + y + z = 0} e W2 = {(x ,y, z,); x = y} (b) W1 = {(x, y, z); x + y = 0} e W2 = {(x, y, z); x = y e x = z} Ainda não entendi muito bem o conceito de SOMA DIRETA e tenho dificuldade em aplicar o exemplo visto em aula neste exercício, mesmo tendo a seguinte dica: (a) Comece mostrando que W1 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)] NESTA PARTE JÁ FICO UM POUCO PERDIDO.. NÃO PODERIA TER COLOCADO (0, -1, 1) TAMBÉM? e W2 = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]. NOVAMENTE, MESMA COISA.. Daí, conclua que W1 + W2 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)]. Logo após, mostre que existem a, b, c e d tais que, para todo (x, y, z) tem-se: (x, y, z) = a(-1, 1, 0) + b( -1, 0, 1) + c(1, 1, 0) + d(0, 0, 1) ESSA É A DICA DO MEU PROFESSOR.. E NÃO ENTENDO.. |
|
| Autor: | Rui Carpentier [ 13 jan 2017, 02:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta |
Engenet Escreveu: Verifique se \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 e determine quais são soma direta: (a) Comece mostrando que W1 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)] NESTA PARTE JÁ FICO UM POUCO PERDIDO.. NÃO PODERIA TER COLOCADO (0, -1, 1) TAMBÉM? e W2 = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]. NOVAMENTE, MESMA COISA.. Daí, conclua que W1 + W2 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)]. O que é feito aqui é encontrar um conjunto gerador para cada subespaço, poderia ter colocado (0, -1, 1) também mas seria redundante uma vez que (0, -1, 1)=(-1, 0, 1)-(-1, 1, 0). Portanto se {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)} gera W1 e {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} gera W2 então {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}U{(1, 1, 0), (0, 0, 1)} gera W1+W2. Engenet Escreveu: Verifique se \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 e determine quais são soma direta: Logo após, mostre que existem a, b, c e d tais que, para todo (x, y, z) tem-se: (x, y, z) = a(-1, 1, 0) + b( -1, 0, 1) + c(1, 1, 0) + d(0, 0, 1) ESSA É A DICA DO MEU PROFESSOR.. E NÃO ENTENDO.. Ou seja, quer-se provar que {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} gera \(\mathbb{R}^3\). Isso pode ser feito mostrando que a matriz com linhas (ou colunas, é indiferente) iguais a (-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0) e (0, 0, 1) tem característica (rank) igual a três. Ou então pode resolver o sistema -a-b+c=x, a+c=y, b+d=z. |
|
| Autor: | Engenet [ 13 jan 2017, 02:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta |
Mas, para mostrar a soma direta, também não preciso mostrar que W1\(\bigcap\)W2 = {0}? |
|
| Autor: | Rui Carpentier [ 13 jan 2017, 02:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta |
Engenet Escreveu: Mas, para mostrar a soma direta, também não preciso mostrar que W1\(\bigcap\)W2 = {0}? Sim, mas na alínea a) não é necessário pois W1 e W2 têm ambos dimensão 2. Não podemos ter um subespaço em \(\mathbb{R}^3\) que seja a soma direta de dois subespaços de dimensão 2 pois essa soma teria dimensão 4. Trata-se da fórmula \(dim(W_1\oplus W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)=dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)\). |
|
| Autor: | Engenet [ 19 jan 2017, 13:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta |
Eu poderia responder de forma diferente, sem ter que supor esses valores? Encontrei uma solução de um problema semelhante que ia por outro caminho. Apliquei na letra B e cheguei no seguinte: W1 = {(x, y, z) : x + y = 0} e W2 = (x, y, z) : x = y e x = z} Solução: 1) \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 (x, y, z) = (-y, -x, z-x-y) + (x+y, x+y, x+y) 2) \(W1\bigcap W2 =\) {0} x + y = 0 e x = y e x = z x + x = 0 x + z = 0 x = -x . Isso só é verdade se x = 0. Logo, x = y = z = 0. Temos então: (0, 0, 0) = O \(\in \mathbb{R}^3\) Está correto? Ou muito errado? |
|
| Autor: | Rui Carpentier [ 20 jan 2017, 14:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta [resolvida] |
Engenet Escreveu: Eu poderia responder de forma diferente, sem ter que supor esses valores? Encontrei uma solução de um problema semelhante que ia por outro caminho. Apliquei na letra B e cheguei no seguinte: W1 = {(x, y, z) : x + y = 0} e W2 = (x, y, z) : x = y e x = z} Solução: 1) \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 (x, y, z) = (-y, -x, z-x-y) + (x+y, x+y, x+y) 2) \(W1\bigcap W2 =\) {0} x + y = 0 e x = y e x = z x + x = 0 x + z = 0 x = -x . Isso só é verdade se x = 0. Logo, x = y = z = 0. Temos então: (0, 0, 0) = O \(\in \mathbb{R}^3\) Está correto? Ou muito errado? Está correto. |
|
| Autor: | Engenet [ 20 jan 2017, 15:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Conjuntos pertencentes a espaços vetoriais e Soma Direta |
Muito obrigado a todos pela colaboração de todos. |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|