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MensagemEnviado: 12 jan 2017, 13:52 
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Verifique se \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 e determine quais são soma direta:

(a) W1 = {(x, y, z); x + y + z = 0} e W2 = {(x ,y, z,); x = y}
(b) W1 = {(x, y, z); x + y = 0} e W2 = {(x, y, z); x = y e x = z}

Ainda não entendi muito bem o conceito de SOMA DIRETA e tenho dificuldade em aplicar o exemplo visto em aula neste exercício, mesmo tendo a seguinte dica:

(a) Comece mostrando que W1 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)] NESTA PARTE JÁ FICO UM POUCO PERDIDO.. NÃO PODERIA TER COLOCADO (0, -1, 1) TAMBÉM? e W2 = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]. NOVAMENTE, MESMA COISA.. Daí, conclua que W1 + W2 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)]. Logo após, mostre que existem a, b, c e d tais que, para todo (x, y, z) tem-se:

(x, y, z) = a(-1, 1, 0) + b( -1, 0, 1) + c(1, 1, 0) + d(0, 0, 1)
ESSA É A DICA DO MEU PROFESSOR.. E NÃO ENTENDO..


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MensagemEnviado: 13 jan 2017, 02:09 
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Verifique se \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 e determine quais são soma direta:
(a) Comece mostrando que W1 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)] NESTA PARTE JÁ FICO UM POUCO PERDIDO.. NÃO PODERIA TER COLOCADO (0, -1, 1) TAMBÉM? e W2 = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]. NOVAMENTE, MESMA COISA.. Daí, conclua que W1 + W2 = [(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)].


O que é feito aqui é encontrar um conjunto gerador para cada subespaço, poderia ter colocado (0, -1, 1) também mas seria redundante uma vez que (0, -1, 1)=(-1, 0, 1)-(-1, 1, 0).
Portanto se {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)} gera W1 e {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} gera W2 então {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}U{(1, 1, 0), (0, 0, 1)} gera W1+W2.

Engenet Escreveu:
Verifique se \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2 e determine quais são soma direta:
Logo após, mostre que existem a, b, c e d tais que, para todo (x, y, z) tem-se:

(x, y, z) = a(-1, 1, 0) + b( -1, 0, 1) + c(1, 1, 0) + d(0, 0, 1)
ESSA É A DICA DO MEU PROFESSOR.. E NÃO ENTENDO..


Ou seja, quer-se provar que {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} gera \(\mathbb{R}^3\). Isso pode ser feito mostrando que a matriz com linhas (ou colunas, é indiferente) iguais a (-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0) e (0, 0, 1) tem característica (rank) igual a três. Ou então pode resolver o sistema -a-b+c=x, a+c=y, b+d=z.


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MensagemEnviado: 13 jan 2017, 02:14 
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Mas, para mostrar a soma direta, também não preciso mostrar que W1\(\bigcap\)W2 = {0}?


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MensagemEnviado: 13 jan 2017, 02:32 
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Mas, para mostrar a soma direta, também não preciso mostrar que W1\(\bigcap\)W2 = {0}?


Sim, mas na alínea a) não é necessário pois W1 e W2 têm ambos dimensão 2. Não podemos ter um subespaço em \(\mathbb{R}^3\) que seja a soma direta de dois subespaços de dimensão 2 pois essa soma teria dimensão 4. Trata-se da fórmula \(dim(W_1\oplus W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)=dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)\).


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MensagemEnviado: 19 jan 2017, 13:05 
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Eu poderia responder de forma diferente, sem ter que supor esses valores? Encontrei uma solução de um problema semelhante que ia por outro caminho. Apliquei na letra B e cheguei no seguinte:

W1 = {(x, y, z) : x + y = 0} e W2 = (x, y, z) : x = y e x = z}

Solução:

1) \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2
(x, y, z) = (-y, -x, z-x-y) + (x+y, x+y, x+y)

2) \(W1\bigcap W2 =\) {0}
x + y = 0 e x = y e x = z
x + x = 0
x + z = 0
x = -x . Isso só é verdade se x = 0. Logo, x = y = z = 0. Temos então: (0, 0, 0) = O \(\in \mathbb{R}^3\)

Está correto? Ou muito errado?


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MensagemEnviado: 20 jan 2017, 14:42 
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Eu poderia responder de forma diferente, sem ter que supor esses valores? Encontrei uma solução de um problema semelhante que ia por outro caminho. Apliquei na letra B e cheguei no seguinte:

W1 = {(x, y, z) : x + y = 0} e W2 = (x, y, z) : x = y e x = z}

Solução:

1) \(\mathbb{R}^3\) = W1 + W2
(x, y, z) = (-y, -x, z-x-y) + (x+y, x+y, x+y)

2) \(W1\bigcap W2 =\) {0}
x + y = 0 e x = y e x = z
x + x = 0
x + z = 0
x = -x . Isso só é verdade se x = 0. Logo, x = y = z = 0. Temos então: (0, 0, 0) = O \(\in \mathbb{R}^3\)

Está correto? Ou muito errado?

Está correto.


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MensagemEnviado: 20 jan 2017, 15:50 
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Muito obrigado a todos pela colaboração de todos.


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