Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Galera por favor me ajudem com esta questão:

Indique o “Método de Demonstração” utilizado e demonstre cada situação apresentada:

a) Somando as primeiras potências de 2 obtemos a seguinte sequência 1+2+2²+...+2^n .
Para essa soma, é possível encontrar uma fórmula fechada tal que:
1+2+2²+...+2^n=(2^(n+1))-1

Utilizando um método adequado, prove que a equação acima é verdadeira qualquer que seja n maior ou igual a 1.

b) Utilizando um método adequado, prove que:
“se n é um número inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar”.

c) Demonstre que:
“Se a é um número racional e b um irracional, então a soma a + b é irracional”.

a) Prova por indução matemática:
Provar para n=1
\(1+2\)\(=3\)\(=2^{2}-1\)
Provar para n=n+1
\(1+2+2^2+...+2^n+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2^{n+2}-1\)

b) Prova por absurdo.
Imaginemos que n é par.
Qualquer número multiplicado por número par tem como resultado um número par. pelo que 3n é par e 3n+2 continua par. Logo se 3n+2 é ímpar n é necessariamente ímpar.

c) Prova por absurdo. Imaginemos a+b= racional = c
\(a=\frac{x}{y}\)
\(c=\frac{m}{n}\)
Onde x,y,m,n são números inteiros positivos.
Ora assim teríamos a igualdade:
\(\frac{x}{y}+b=\frac{m}{n}\Rightarrow b=\frac{m}{n}-\frac{x}{y}=\frac{m\cdot y-x\cdot n}{y\cdot n}\)

Pelo que b poderia ser representado por uma fração e assim sendo b era racional. Absurdo porque b é irracional. Logo o resultado só poderia ser irracional.