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| Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=11565 |
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| Autor: | muriloogps [ 27 jul 2016, 16:58 ] |
| Título da Pergunta: | Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas |
Ache o maior número real y tal que a² +b² +c² +d² ≥ ab+ybc+cd para a, b, c e d números reais. Eu tentei fazer usando a desigualdade de Cauchy (média aritmética/geométrica) e cheguei em 2. Mas não deve ser por esse caminho, pois está errado. |
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| Autor: | Sobolev [ 27 jul 2016, 17:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas [resolvida] |
A função \(Q(a,b,c,d)=a^2+b^2+c^2+d^2-ab-cd - ybc\) é uma forma quadrática. A pergunta é pois equivalente a saber qual o menor valor de \(y\) para o qual esta forma é definida positiva ou semi-definida positiva. Ora, a matriz simétrica associada a esta forma quadrática é \(A = \left(\begin{array}{cccc} 1 & -\frac12 & 0 & 0\\ -\frac 12 & 1 & -\frac y2 & 0 \\ 0 & -\frac y2 & 1 &-\frac 12 \\ 0 & 0 & -\frac 12& 1 \end{array}\right)\) e os seus valores próprios são \(\frac{1}{4} \left(-\sqrt{y^2+4}-y+4\right), \quad \frac{1}{4} \left(-\sqrt{y^2+4}+y+4\right), \quad \frac{1}{4} \left(\sqrt{y^2+4}-y+4\right), \quad \frac{1}{4} \left(\sqrt{y^2+4}+y+4\right)\) Os dois últimos valores próprios são sempre estritamente positivos, independentemente de y. Devemos assim concentrar-nos nos dois primeiros. Para o primeiro valor próprio ser \(\ge 0\) devemos ter \(y \leq \frac 32\), e para o segundo ser \(\ge 0\) devemos ter \(y \ge -\frac 32\). Em resumo, a desigualdade é verificada para todos os \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) se e só se \(y \in [-\frac 32, \frac 32]\). Esta matéria (formas quadráticas) é muitas vezes introduzida como ferramenta na optimização de funções de diversas variáveis, pelo que surge associada ao cálculo diferencial em Rn. |
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| Autor: | muriloogps [ 28 jul 2016, 00:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas |
Genial! Mas teria como você me explicar como chegou nos valores próprios? Eu não conhecia essa matéria, então passei o dia inteiro estudando pra tentar entender sua resolução. Finalmente entendi, mas não consegui chegar nos valores próprios sozinho. :/ Poderia fazer o passo a passo por favor? |
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| Autor: | muriloogps [ 28 jul 2016, 02:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas |
E porque 2 (que é maior que 3/2) não poderia ser resposta para a desigualdade? Quando você fala "A pergunta é pois equivalente a saber qual o menor valor de para o qual esta forma é definida positiva ou semi-definida positiva." o 3/2 faz mais sentido, mas sem passar as incógnitas subtraindo, o 2 faz mais sentido, não? |
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| Autor: | Sobolev [ 28 jul 2016, 07:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas |
Em relação aos valores próprios, eles são as raizes do polinómio \(p(\lambda) = |A- \lambda I|\). Daí tem que calcular o determinante de resolver em ordem a \(\lambda\) a equação \(p(\lambda)=0\). O que a resolução mostrou é que a inequação apenas é verificada para todos os valores de a,b,c,d se \(y \in [-\frac 32, \frac 32 ]\). Se escolher um y que não pertence a esse intervalo, existirão valores de a,b,c,d para os quais a inequação é verificada e outros para os quais ela não é verificada. Por exemplo se y=2 a equação não é verificada... |
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| Autor: | muriloogps [ 28 jul 2016, 16:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas |
Entendi perfeitamente a questão do intervalo. Muito obrigado! Mas apesar de já saber calcular os valores próprios, estou chegando em contas enormes e sem saídas. Será que você poderia fazer passo a passo por favor? |
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| Autor: | Sobolev [ 28 jul 2016, 17:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra avançada com desigualdade e quatro incógnitas |
Não fiz manualmente o cálculo dos valores próprios, utilizei o software "Mathematica" da Wolfram. Os cálculos poderão realmente ser longos... |
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