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MensagemEnviado: 27 jul 2016, 16:58 
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Ache o maior número real y tal que a² +b² +c² +d² ≥ ab+ybc+cd para a, b, c e d números reais.

Eu tentei fazer usando a desigualdade de Cauchy (média aritmética/geométrica) e cheguei em 2. Mas não deve ser por esse caminho, pois está errado.


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MensagemEnviado: 27 jul 2016, 17:50 
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A função \(Q(a,b,c,d)=a^2+b^2+c^2+d^2-ab-cd - ybc\) é uma forma quadrática. A pergunta é pois equivalente a saber qual o menor valor de \(y\) para o qual esta forma é definida positiva ou semi-definida positiva. Ora, a matriz simétrica associada a esta forma quadrática é

\(A = \left(\begin{array}{cccc} 1 & -\frac12 & 0 & 0\\ -\frac 12 & 1 & -\frac y2 & 0 \\ 0 & -\frac y2 & 1 &-\frac 12 \\ 0 & 0 & -\frac 12& 1 \end{array}\right)\)

e os seus valores próprios são

\(\frac{1}{4} \left(-\sqrt{y^2+4}-y+4\right), \quad \frac{1}{4} \left(-\sqrt{y^2+4}+y+4\right), \quad \frac{1}{4} \left(\sqrt{y^2+4}-y+4\right), \quad \frac{1}{4} \left(\sqrt{y^2+4}+y+4\right)\)

Os dois últimos valores próprios são sempre estritamente positivos, independentemente de y. Devemos assim concentrar-nos nos dois primeiros. Para o primeiro valor próprio ser \(\ge 0\) devemos ter \(y \leq \frac 32\), e para o segundo ser \(\ge 0\) devemos ter \(y \ge -\frac 32\).

Em resumo, a desigualdade é verificada para todos os \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) se e só se \(y \in [-\frac 32, \frac 32]\).

Esta matéria (formas quadráticas) é muitas vezes introduzida como ferramenta na optimização de funções de diversas variáveis, pelo que surge associada ao cálculo diferencial em Rn.


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MensagemEnviado: 28 jul 2016, 00:13 
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Genial! Mas teria como você me explicar como chegou nos valores próprios? Eu não conhecia essa matéria, então passei o dia inteiro estudando pra tentar entender sua resolução. Finalmente entendi, mas não consegui chegar nos valores próprios sozinho. :/ Poderia fazer o passo a passo por favor?


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MensagemEnviado: 28 jul 2016, 02:31 
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E porque 2 (que é maior que 3/2) não poderia ser resposta para a desigualdade? Quando você fala "A pergunta é pois equivalente a saber qual o menor valor de para o qual esta forma é definida positiva ou semi-definida positiva." o 3/2 faz mais sentido, mas sem passar as incógnitas subtraindo, o 2 faz mais sentido, não?


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MensagemEnviado: 28 jul 2016, 07:49 
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Em relação aos valores próprios, eles são as raizes do polinómio \(p(\lambda) = |A- \lambda I|\). Daí tem que calcular o determinante de resolver em ordem a \(\lambda\) a equação \(p(\lambda)=0\).

O que a resolução mostrou é que a inequação apenas é verificada para todos os valores de a,b,c,d se \(y \in [-\frac 32, \frac 32 ]\). Se escolher um y que não pertence a esse intervalo, existirão valores de a,b,c,d para os quais a inequação é verificada e outros para os quais ela não é verificada. Por exemplo se y=2 a equação não é verificada...


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MensagemEnviado: 28 jul 2016, 16:12 
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Entendi perfeitamente a questão do intervalo. Muito obrigado!
Mas apesar de já saber calcular os valores próprios, estou chegando em contas enormes e sem saídas. Será que você poderia fazer passo a passo por favor?


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MensagemEnviado: 28 jul 2016, 17:32 
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Não fiz manualmente o cálculo dos valores próprios, utilizei o software "Mathematica" da Wolfram. Os cálculos poderão realmente ser longos...


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