Volume de uma pirâmide quadrangular

[Carmen]

Seja V = \(\frac{3}{25}\)x³ - \(\frac{12}{5}\)x² + 12x o volume da pirâmide e sabendo que x ∊ ]0,10[ , determine para que valor de x o volume é máximo.

Se o intervalo fosse fechado era só substituir o x por 10, mas como é aberto não sei como fazer.

Podem ajudar-me? Obrigado

[Estanislau]

Nem sempre o maior valor da função corresponde ao maior valor do argumento.

Calcule a derivada e estude a monotonicidade da função.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Função e derivada:
\(V(x){=}\frac{3}{25}x^3-\frac{12}{5}x^2+12x
V'(x){=}\frac{9}{25}x^2-\frac{24}{5}x+12
V'(x){=}0
\frac{9}{25}x^2-\frac{24}{5}x+12{=}0
\Delta=\left(-\frac{24}{5}\right)^2-4\cdot\left(\frac{9}{25}\right)\cdot\left(12\right)
\Delta=\frac{576}{25}-\frac{432}{25}
\Delta=\frac{144}{25}
x=\frac{-\left(-\frac{24}{5}\right)\pm\sqrt{\frac{144}{25}}}{2\cdot\frac{9}{25}}
x=\frac{\frac{24}{5}\pm\frac{12}{5}}{\frac{18}{25}}
x=\frac{120\pm{60}}{18}
x'=\frac{120+60}{18}=\frac{180}{18}=10
x''=\frac{120-60}{18}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\)

Analisando o sinal da derivada primeira temos que a função é:
\(x<\frac{10}{3}\Rightarrow{\text{ crescente}}
\frac{10}{3}<x<10\Rightarrow{\text{ decrescente}}
x>10\Rightarrow{\text{ crescente}}\)

Então, \(\frac{10}{3}\) é um ponto de máximo.

Espero ter ajudado!

[Estanislau]

60/18 = 10/3

Está perfeito, a Carmen pode copiar a solução e continuar sem aprender nada!

[Baltuilhe]

Estanislau, corrigido!

Obrigado por mostar! Muitas vezes fazemos de forma tão rápida (e, principalmente, sem verificar depois) que chegamos a um resultado errado!

Bom domingo!

Tomara que a Carmen copie a versão correta! :0

[Carmen]

Ainda não demos derivadas, é possível indicarem-me outro método? Obrigado