Provar que reunião de dois subespaços é um subespaço se e somente se.

[Engenet]

Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.

Como resolver?

[Sobolev]

Uma das implicações é trivial. Se tem dois subespaços \(E_1,E_2 \subset E\) e \(E_1 \subset E_2\) então \(E_1 \cup E_2 = E_2\), sendo portanto um subespaço de E.

Relativamente à outra implicação, vamos supor por absurdo que existem vectores \(x,y \in E_1 \cup E_2\) tais que \(x \in E_1\setminus E_2\) e \(y \in E_2 \setminus E_1\). Assim, o vector \(x+y\) também deveria estar em \(E_1 \cup E_2\)... No entanto...

* Se \(x+y \in E_1\) então \((x+y) - x \in E_1\), pelo que \(y \in E_1\) !! (absurdo)
* Se \(x+y \in E_2\) então \((x+y) - y \in E_2\), pelo que \(x \in E_2\) !! (absurdo)

Concluimos pois que não é possivel escolher x,y do modo proposto, pelo que um dos subespaços deve estar contido no outro.