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3) Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

x^2 + 2xy - y^2 +x = 2, (1,2)

O primeiro passo é trazer toda a equação para um único membro. Assim temos:

x^2 + 2xy - y^2 + x - 2 = 0

Agora, derive a mesma equação duas vezes:

1º considere o x como a variável e o y como uma constante de um lado da igualdade

2º após a igualdade derive a mesma equação considerando o y como variável e o x como constante, nesse caso devemos multiplicar tudo por - dy/dx , que é a derivada que nós queremos encontrar.

2x + 2y - 0 + 1 = -(dy/dx)(2x - 2y)

2x + 2y + 1 = (-2x+2y)(dy/dx)

dy/dx = (2x + 2y + 1)/(-2x+2y)

Feito! Achada a derivada. Agora é só achar o coeficiente da reta substituindo os valores que a questão nos dá: (1,2)

[2(1) + 2(2) + 1]/[(-2(1) + 2(2)] = coef. angular da reta tg = 7/2

Achado o coeficiente angular da reta tangente e tendo um ponto, podemos achar a equação da reta:

coef. angular = (y2-y1)/(x2-x1)

7/2 = (2-y)/(1-x)

7-7x = 4-2y
2y=7x-3
y=7x/2 - 3/2 (Equação da reta tangente ao gráfico dado no ponto (1,2))