Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um professor passou esse problema com limites. Se h(x) = sqrt(x+9-3)/x mostre que limit x->0=1/6 mas que h(0) não está definida.

Poderia, por favor, confirmar o enunciado?

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Fraol
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Caro viniterranova,

Obrigado por postar, havia pensado que seria um problema na digitação da fórmula.

Essa função não está definida para \(x = 0\) pois não podemos dividir por \(0\).

Quanto ao limite creio que algo está errado na impressão do problema pois quando \(x \rightarrow 0\) o radicando tende para \(\sqrt{6}\) mas se o \(x \rightarrow 0\) pela esquerda teremos a função tendendo para menos infinito (\(- \infty\)). Se o \(x \rightarrow 0\) pela direita teremos a função tendendo para mais infinito (\(+ \infty\)) e portanto o limite não existe.

Se algo não estiver claro, manda de volta pra gente discutir.

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Fraol
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Olá,

Para auxiliar na compreensão do que postei acima anexei uma figura com um trecho do gráfico da função:

Observe o que acontece com a linha representativa da função quando o x tende a zero tanto pela esquerda quanto pela direita.
Ainda, veja que o domínio da função é \([-6, + \infty) - \left{ 0 \right}\).

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Fraol
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Obrigado pela resposta. Mas a questão é assim mesmo pelo que me disse o professor. Acho que ele quer fazer uma pegadinha com a turma. Dificultar as coisas um pouco. A resposta que você me deu é isso mesmo. mas, pelo que vi ele quer que se mostre como a função no caso o limite dar como resposta 1/6. Nesse caso eu tirei o -3 de dentro da raiz, ou seja redefinir a função do limite e nesse caso se achar o 1/6. Não vejo outra resposta. Que pensas??

Oi,

Acho bem difícil chegar numa função com essa "cara" do problema e que o limite para x tendendo a 0 seja 1/6.

Veja que a função dada pode ser escrita assim: \(h(x) = \sqrt{\frac{x+6}{x^2}}\).

O valor dessa função será 1/6 quando \(\frac{x+6}{x^2} = \frac{1}{36}\) e aí não tem como x ser 0, concorda?

Uma função nessa linha que tem o valor próximo de 1/6 quando x é 0 seria +/- assim:
\(g(x) = \frac{\sqrt{x + 12.47273 - 3}}{ (x + 3.47273)} - 0.70909\).

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Fraol
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Sim, entendo seu raciocínio, mas como havia dito para que possar ser satisfeito o que o professor pede eu redefinir a função e tirei o -3 de dentro da raiz e multipliquei pelo conjungado. Nesse caso eu consiguo achar o valor de 1/6.

Bom dia,

Intrigante esse caso! Você poderia, por favor, detalhar o que fez para chegar ao 1/6?

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Fraol
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Bom fiz o upload da resolução que fiz para a questão. Nesse caso eu fiz uma redefinição da função para que se possar chegar ao resultado de 1/6.