Limit (x->e) (ln(x)-1)/(x-e)

[RMFF]

Como resolver:

Limit (ln (x) - 1) / (x - e)
x-> e


Obrigado

[João P. Ferreira]

Caríssimo

Quer então resolver

\(\lim_{x \to e}\frac{ln(x)-1}{x-e}\)

Meu caro, aqui vai sem aplicar a regra de Cauchy

faz uma substituição

\(x-e=y \ \Leftrightarrow \ x=y+e\)

\(x \to e \ \Leftrightarrow \ y \to 0\)

\(\lim_{y \to 0}\frac{ln(y+e)-1}{y}=\lim_{y \to 0}\frac{ln(y+e)-ln(e)}{y}=\lim_{y \to 0}\frac{ln(\frac{y+e}{e})}{y}=\lim_{y \to 0}\frac{ln(\frac{y}{e}+1)}{y}=\frac{1}{e}\lim_{y \to 0}\frac{ln(\frac{y}{e}+1)}{\frac{y}{e}}=\frac{1}{e}\times 1=\frac{1}{e}\)

Lembre-se do limite notável

\(\lim_{x \to 0}\frac{ln(bx+1)}{bx}=1\)

Podia chegar ao mesmo resultado através da Regra de Cauchy

Volte sempre