Cálculo para provar a diferenciabilidade

[Gustavoaos]

Como resolver esse exercício? Eu resolvi por E [h, k]
Mas o professor disse estar errado
Se não conseguir em ler, o exercício é:
Prove que a seguinte função é diferenciável
F(x, y) = 2x + 1
Obrigado desde já!

Anexos

Exercício.

IMG_20160621_165954.jpg (18.42 KiB) Visualizado 1737 vezes

[Estanislau]

Eu resolvi por E [h, k]
Mas o professor disse estar errado

Apresente a prova, vamos encontrar o erro.

[Sobolev]

Neste caso não é necessário usar a definição, pois é imediato garantir a continuidade das derivadas parciais. Se as derivadas parciais são contínuas na vizinhança de um ponto, a função é diferenciável.

Na sua resolução usou

\(\varepsilon(h,k) = \dfrac{2(x_0+h)+1 - (2 x_0 +1)- 2h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0 ?\)

[Gustavoaos]

Neste caso não é necessário usar a definição, pois é imediato garantir a continuidade das derivadas parciais. Se as derivadas parciais são contínuas na vizinhança de um ponto, a função é diferenciável.

Na sua resolução usou

\(\varepsilon(h,k) = \dfrac{2(x_0+h)+1 - (2 x_0 +1)- 2h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0 ?\)

Aparentemente vi meu erro, eu usei 2(xo + h).(0 + k)
pensei que iria ficar a multiplicação (2x+2h).k
esqueci do numero 1 da função e que não se coloca y quando não existe na função!
Acho que foi isto! Obrigado desde já!

[Gustavoaos]

Neste caso não é necessário usar a definição, pois é imediato garantir a continuidade das derivadas parciais. Se as derivadas parciais são contínuas na vizinhança de um ponto, a função é diferenciável.

Na sua resolução usou

\(\varepsilon(h,k) = \dfrac{2(x_0+h)+1 - (2 x_0 +1)- 2h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0 ?\)

Tentei enviar mp para não floodar aqui porem não consegui, perdão por incomodar, mas usando o E [h, k] que você me passou, o resultado seria 0=0?
pois todos os elementos se anulam!
Se puder explicar ficaria grato!

[Sobolev]

A função \(f\)é diferenciável se a função \(\varepsilon(h,k)\) tender para zero quando \((h,k) \to (0,0)\). Neste caso a função \(\varepsilon(h,k)\) é exactamente igual a zero, pelo que em particular tende para zero...

A ideia da definição de diferenciabilidade é exigir que a diferença entre a aproximação linear da função e a função tenda para zero suficientemente rápido. Como neste caso a função já é linear, a tal diferença é exactamente igual a zero.