Calculo de integral trigonométrica ∫(2-senx)²

[Pedro Costa]

Alguém poderia me ajudar com essa questão?:

Calcular a integral trigonométrica de:

∫(2-senx)².

Resposta do gabarito: 9x/2 - 4cosx -sen2x/4+C.

Agradeço desde já.

[pedrodaniel10]

Olá, a dica para resolver essa integral será:

Expandir o o caso notável
Aplicar de seguida a regra das somas de integrais
E usar a identidade trigonométrica \(\sin(x)^2=\frac{1-\cos(2x)}{2}\)
E vai chegar à resposta. Qualquer dúvida só perguntar

[Pedro Costa]

Desenvolvendo eu cheguei a isso:

∫4-4senx+sen²x dx = 4∫dx -4∫senx dx +∫sen²x dx

usando a identidade que você falo: ∫sen²x dx = ∫1-cos(2x)/2 que deu: x/2 - sen2x/4+C.

assim fica:

4x + 4cosx + x/2 - sen2x/4+C.

Desenvolvendo dá:

9x/2 +4cosx -sen2x/4+C.

Só que a resposta é 9x/2 -4cosx - sen2x/4 +C .

Não sei porque dá -4cosx inves de + 4cosx.

[pedrodaniel10]

Resolvendo eu também cheguei a essa conclusão porque vai ficar: \(\int -4\sin(x)=-4(-\cos(x))=4\cos(x)\)

Portanto a resposta à qual chegou é a correta. Se ainda tem dúvidas coloque no Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E ... x%29%C2%B2