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calcule os valores de n para que a integral seja convergente

int dx/ (x ln(x)^n) de e ate oo

resposta n>1

realmente quando n for 0, da oo, mas quando n for oo da 0. e pelo que sei quando da 0 ou infinito ela DIVERGE. o correto nao seria de 1 ate oo-1?

A última linha do seu post mistura alguns conceitos... A única coisa importante aqui é a definição de integral impróprio. Este integral é convergente se o seguinte limit existir e for finito. Para \(n \ne 1\) temos

\(\lim_{b \to + \infty} \int_e^{b} \frac{dx}{ x(\log x)^n} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_e^b \frac{1}{x} (\log x)^{-n}\, dx =
\lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{(\log x )^{-n+1}}{-n+1}\right]_e^b = \lim_{b \to + \infty} (\frac{1}{(1-n) (\log b)^{n-1}}-\frac{1}{-n+1})\)

Olhando para a última expressão vemos que o limite apenas existe se n > 1. O caso n = 1 também dá origem a um integral divergente (é só calcular aprimitiva que nesse caso é \(\log|\log x |\).

entendi

se N for oo, o limite é 0 que é convergente? ou em exercicios desse tipo não sera possivel considerar oo?

Repare, n é um parâmetro dado... Não faz sentido atribuir-he o valor \(+ \infty\). A análise da convergência do integral impróprio é feita com base no limite em b.

Talvez esteja a confundir com um outro resultado... No caso da a função integranda ser positiva o integral em \([a, +\infty[\) apenas pode ser convergente se a função integranda tender para zero quando x tende para Infinito. Esse é um aspecto que tb pode ser explorado mas, neste caso, não é necessário uma vez que conseguimos fazer o cálculo explícito da primitiva.

correto

então basicamente em qualquer exercicio do tipo eu vou cair num resultado que sera possivel achar N para que converge ou diverge?

Sim, sempre que a função integranda depender de parâmetros ( neste caso o n) e for possível calcular explicitamente a primitiva, poderá analisar a existência do integral impróprio em função desses parâmetros, analisando quado é que o limite ( em b) existe ou não existe.